Composició d'isometries

Si practiquem dues isometries primer f i a continuació un altra g, obtindrem com a resultat un altra funció que escriurem gof, definida per la fórmula:

(gof )(A) = g(f (A)) = g(A') = A''

l'aplicació resultant que s'anomena composició de les dues isometries és evidentment una isometria atès que AB = A'B' = A''B''.

Una isometria és sempre una aplicació injectiva, ja que f (A) = f (B) $ \Ra$ A'B' = 0 AB = 0 $ \Ra$ A = B, en l'apartat 3.2 es justifica que una isometria ha de ser una aplicació exhaustiva, per tant, si f és una isometria i P un punt qualsevol del pla, existeix un únic A tal que f (A) = P, l'aplicació g definida per g(P) = A s'anomena inversa de f i s'escriu g = f-1, obviament:

fof-1 = id        i        f-1of = id

La composició d'aplicacions és una operació interna associativa amb neutre i cada element té invers o sigui, el conjunt d'isometries del pla amb la composició té una estructura de grup, com veurem més endavant, aquest grup no és commutatiu, la qual cosa complica i dóna riquesa a l'estructura.