Determinació d'una isometria

A continuació determinarem totes les possibilitats a l'hora de fixar una isometria. Prenguem un punt A, la seva imatge pot ser un punt A' qualsevol del pla, suposem que hem escollit A'; prenguem ara un altre punt B, tal que AB = r > 0, la imatge B' ha de ser un punt tal que A'B' = r; per tant, podem escollir el punt B' en la circumferència de centre A' i radi r.

Els punts A' i B' determinen les imatges de tots els punts de la recta AB atès que qualsevol punt d'aquesta recta està unívocament determinat per la distància als punts A i B.

\includegraphics{c:/ramon/geome/im2}

Prenguem ara un punt C que no està en la recta AB, sigui a = d (C, B) i b = d (C, A), el punt C' ha de complir a = d (C', B') i b = d (C', A'), per tant, C' ha de ser un dels dos punts d'intersecció de les circumferències de centre B' i A' de radis a i b respectivament, per tant, C' només pot ser un dels dos punts P o Q. (vegeu la figura 3.1)

Figura 3.1: Determinació d'una isometria
\includegraphics{c:/ramon/geome/im3}

Si ja hem escollit quin dels dos punts (P o Q) és la imatge de C, resulta que la isometria queda determinada ja que si ara prenem un altre punt D, la seva imatge D' està unívocament determinada per la intersecció de les circumferències de centres A', B' i C' de radis AD, BD i CD respectivament.

De la mateixa manera es pot raonar l'exhaustivitat de la isometria ja que donat D', podem determinar D com la intersecció de les circumferències de centres A, B i C de radis A'D', B'D' i C'D' respectivament.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/im4}

Determinació d'una isometria

De les observacions que acabem de fer es desprèn que donats quatres punts A, B, A' i B' amb A$ \ne$B i d (A, B) = d (A', B'), només hi ha dues isometries que transformen A en A' i B en B'. Una isometria és la que transforma C en P i l'altra la que transforma C en Q.

Aquesta afirmació es pot comprovar i intuir dibuixant quatre punts en un paper que compleixen les condicions anteriors, a continuació calcarem els dos primers punts en una transparència, al moure la transparència estem fent un moviment que conserva la distància o sigui una isometria. És clar que hi ha dues maneres de superposar la transparència sobre els punts A' i B', una lliscant la transparència sobre el paper i l'altra donant la volta a la transparència. En llenguatge matemàtic direm que la primera transformació conserva l'orientació i s'anomena directa, mentre que la segona canvia l'orientació i s'anomena inversa3.1. Aquesta observació permet afirmar:Una isometria queda determinada si coneixem la imatge de dos punts diferents A i B i el seu caràcter directe o invers.

Els punts que queden invariants per una isometria s'anomenen fixes, (A és fix per f si f (A) = A), veurem que aquests punts tenen notable importància en l'estudi general de les isometries. Per exemple, donats A i B amb A$ \ne$B només hi ha dues isometries que tenen aquests dos punts fixes, una directa i l'altra inversa, la isometria directa és la identitat (atès que la identitat és una -- i per tant l'única-- isometria que directa que deixa fixes A i B), la isometria inversa que deixa fixes A i B, també deixarà fixes tots els punts de la recta AB ja que com hem observat anteriorment cada punt de la recta AB queda unívocament determinat per la seva distància als punts A i B, veurem més endavant que aquesta isometria és la simetria axial respecte la recta AB.

Tal com s'han introduït les isometries directes i inverses, resulta immediat que la composició de dues isometries directes és directa, la composició d'una isometria directa amb una inversa és inversa, mentre que la de dues inverses és una isometria directa.