Justificació que una translació és una isometria

Prenguem dos punts A, B i les seves imatges A' B', el quadrilàter AA'B'B és un paral·lelogram, atès que $ \triangle$AB'A' és congruent amb $ \triangle$AB'B (criteri CAC) i per tant $ \angle$ABB' = $ \angle$AA'B' la qual cosa implica que AB || A'B' i AB = A'B'.
\includegraphics{c:/ramon/geome/reglap}

Si prenem dos punts A i B qualsevol, hi ha una única translació que porta A a B que escriurem $ \tau_{AB}^{}$, per definició doncs $ \tau_{AB}^{}$(A) = B.

Una translació queda determinada d'una manera completa per un punt A i la seva imatge A'. El segment AA' amb l'ordre primer A i després A' direm que és un segment orientat, més endavant quan treballem la geometria analítica l'anomenarem vector i s'escriu $ \vec{u} $ = $ \overrightarrow{AB}$.

En el capitol 5 treballarem els mosaics que queden invariants per translacions; partint d'un paral·lelogram ABCD i aplicant-li les translacions segons els segments orientats determinats pels seus costats i les seves inverses recobrirem tot el pla amb figures congruents amb la inicial, la qual cosa es pot expressar enunciant que un paral·lelogram emmosaica tot el pla. Si dibuixem qualsevol motiu en aquest paral·legram inicial i traslladem aquest motiu s'obté un mosaic periòdic; com ja hem assenyalat, en el capítol 5 estudiarem aquests mosaics.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/mosaic0}