Justificació que un gir és una isometria

En efecte, el triangle $ \triangle$AOB és congruent amb $ \triangle$A'OB' pel criteri CAC:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\angle AOB + \angle BOA'=\alpha\\
\angle A'OB'+\angle BOA'=\alpha
\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
\angle AOB + \angle BOA'=\alpha\\
\angle A'OB'+\angle BOA'=\alpha
\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\angle AOB + \angle BOA'=\alpha\\
\angle A'OB'+\angle BOA'=\alpha
\end{array}}\right\}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \angle$AOB = $\displaystyle \angle$A'OB'

    $ \Box$

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/gir2}

El gir d'angle O i amplitud 180o s'anomena simetria central respecte P, o bé mitja volta respecte P, s'escriu $ \sigma_{P}^{}$ i té la notable propietat de ser involutiu la qual cosa significa que si l'apliquem dues vegades, tornem al punt inicial:

$\displaystyle \sigma_{P}^{}$o$\displaystyle \sigma_{P}^{}$ = id, otambé$\displaystyle \sigma_{P}^{2}$ = id