Conjugades de les isometries involutives

Si f i g són dues isometries, la isometria fogof-1 s'anomena conjugada de g respecte f, a continuació veurem quines són les conjugades de les isometries involutives, observem que f i f-1 tenen el mateix caràcter (directe o invers) i per tant també tindran el mateix caràcter f i fo$ \sigma_{P}^{}$of-1.


\begin{proposicio}
Si $f$\ és una isometria de $\real^2$, P un punt i $r$\ una r...
...-1}=\sigma_{f(P)}$\ i
$f\circ\sigma_l\circ f^{-1}=\sigma_{f(l)}$\end{proposicio}
En efecte, fo$ \sigma_{P}^{}$of-1 és un isometria directa diferent de la identitat, veurem que és també involutiva i que deixa fix el punt f (P), per tant fo$ \sigma_{P}^{}$of-1 = $ \sigma_{f(P)}^{}$,

fo$\displaystyle \sigma_{P}^{}$of-1ofo$\displaystyle \sigma_{P}^{}$of-1 = fo$\displaystyle \sigma_{P}^{}$$\displaystyle \sigma_{P}^{}$of-1 = fof-1 = id
(fo$\displaystyle \sigma_{P}^{}$of-1)(f (P)) = f ($\displaystyle \sigma_{P}^{}$(P)) = f (P)

D'una manera semblant es dedueix que f$ \sigma_{l}^{}$f-1 = $ \sigma_{f(l)}^{}$ atès que f$ \sigma_{l}^{}$f-1 és una isometria inversa involutiva que deixa fixes tots els punts de la recta f (l ), i per tant f$ \sigma_{l}^{}$f-1 = $ \sigma_{f(l)}^{}$