Composició d'una simetria axial i una translació

La composició d'una simetria axial d'eix r i la translació $ \tau_{\vec u}^{}$ dóna com a resultat una isometria inversa que serŕ doncs una simetria axial o un lliscament.

$ \bullet$ Si $ \vec{u} $ || r resulta que $ \sigma_{r}^{}$o$ \tau_{\vec u}^{}$ = $ \tau_{\vec u}^{}$o$ \sigma_{r}^{}$ = l (r,$ \vec{u} $) per la prňpia definició de lliscament.

$ \bullet$ Si $ \vec{u} $ $ \perp$ r, resulta que $ \tau_{\vec u}^{}$o$ \sigma_{r}^{}$ = $ \sigma_{t}^{}$, atčs que $ \tau_{\vec u}^{}$ = $ \sigma_{t}^{}$o$ \sigma_{r}^{}$, per tant:

$\displaystyle \tau_{\vec u}^{}$o$\displaystyle \sigma_{r}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{t}^{}$$\displaystyle \sigma_{r}^{}$$\displaystyle \sigma_{r}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{t}^{}$

\includegraphics{c:/ramon/geome/simtra1}