Composició d'una simetria axial i una translació

La composició d'una simetria axial d'eix r i la translació $\tau_{\vec u}^{}$ dóna com a resultat una isometria inversa que serà doncs una simetria axial o un lliscament.

$\bullet$ Si $\vec{u}$ || r resulta que $\sigma_{r}^{}$o$\tau_{\vec u}^{}$ = $\tau_{\vec u}^{}$o$\sigma_{r}^{}$ = l (r,$\vec{u}$) per la pròpia definició de lliscament.

$\bullet$ Si $\vec{u}$ $\perp$ r, resulta que $\tau_{\vec u}^{}$o$\sigma_{r}^{}$ = $\sigma_{t}^{}$, atès que $\tau_{\vec u}^{}$ = $\sigma_{t}^{}$o$\sigma_{r}^{}$, per tant:

$$\tau_{\vec u}^{}$$o$$\sigma_{r}^{}$$ = $$\sigma_{t}^{}$$$$\sigma_{r}^{}$$$$\sigma_{r}^{}$$ = $$\sigma_{t}^{}$$