Composició de dos girs

El resultat de la composició de dos girs és un moviment directe i per tant només donar com a resultat un gir o una translació. En el cas en quč les girs tinguin el mateix centre, el resultat serŕ un gir amb el mateix centre i amplitud la suma de les amplituds del girs:

$\displaystyle \rho_{O,\beta}^{}$o$\displaystyle \rho_{O,\alpha}^{}$ = $\displaystyle \rho_{O,\alpha+\beta}^{}$,

observem que si $ \alpha$ + $ \beta$ = k360o amb k $ \in$ $ \enter$ resulta que $ \rho_{O,\beta}^{}$o$ \rho_{O,\alpha}^{}$ = id

Analitzem ara el cas de dos girs amb centres diferents: $ \rho_{B,\beta}^{}$o$ \rho_{A,\alpha}^{}$, sigui r la recta que passa per A i B, el gir $ \rho_{A,\alpha}^{}$ es pot expressar com a composició de dues simetries axials: $ \rho_{A,\alpha}^{}$ = $ \sigma_{r}^{}$o$ \sigma_{t}^{}$, de la mateixa manera $ \rho_{B,\beta}^{}$ = $ \sigma_{p}^{}$o$ \sigma_{r}^{}$ distingim dos casos:

En el cas de dues simetries centrals, $ \sigma_{B}^{}$o$ \sigma_{A}^{}$ = $ \tau_{2\overrightarrow{AB}}^{}$, ja que:

$\displaystyle \sigma_{B}^{}$$\displaystyle \sigma_{A}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{p}^{}$$\displaystyle \sigma_{t}^{}$$\displaystyle \sigma_{t}^{}$$\displaystyle \sigma_{r}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{p}^{}$$\displaystyle \sigma_{r}^{}$ = $\displaystyle \tau_{2AB}^{}$

observem també que si M és el punt mitjŕ dels punts A i B, llavors $ \sigma_{M}^{}$$ \sigma_{A}^{}$ = $ \tau_{2\overline{AM}}^{}$ = $ \tau_{AB}^{}$
\includegraphics{c:/ramon/geome/girgir4}

Es pot considerar les translacions com a girs d'amplitud 0o i que que tenen el centre en l'infinit, d'aquesta manera, és vŕlida la regla d'additivitat dels girs: la composició de dos girs és un altre gir d'amplitud la suma de les amplituds dels girs inicials.


\begin{exemple}
Anŕlisi de la composició de dos girs de centres $A$\ i $B$\ i
amplituds de $90^\circ$.
\end{exemple}
Seguint les indicacions del apartat anterior resulta que $ \rho_{B,90^\circ}^{}$o$ \rho_{A,90^\circ}^{}$ = $ \rho_{O,180^\circ}^{}$ = $ \sigma_{O}^{}$

\includegraphics{c:/ramon/geome/girgir3}