Composició d'una simetria i un gir

Analitzarem la composició d'un gir $ \rho_{O,\alpha}^{}$ amb una simetria $ \sigma_{r}^{}$ en el cas en quč O $ \in$ r. La composició serŕ un moviment invers que té fix el punt O, per tant, serŕ una simetria axial d'eix que passa per O.

Si t i m són les dues rectes que passen per O i formen un angle $ \alpha$/2 amb la recta r, resulta:

$\displaystyle \sigma_{r}^{}$o$\displaystyle \rho_{O,\alpha}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{r}^{}$o$\displaystyle \sigma_{r}^{}$o$\displaystyle \sigma_{t}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{t}^{}$

si composem canviant l'ordre:

$\displaystyle \rho_{O,\alpha}^{}$o$\displaystyle \sigma_{r}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{m}^{}$$\displaystyle \sigma_{r}^{}$$\displaystyle \sigma_{r}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{m}^{}$

\includegraphics{c:/ramon/geome/girsim}
Resumint, si O $ \in$ r la composició de la simetria $ \sigma_{r}^{}$ i el gir $ \rho_{O,\alpha}^{}$ dóna com a resultat una simetria axial respecte una recta que forma un angle $ \alpha$/2 amb la recta r.