Conjugats d'un gir i d'una translació

Sigui f una isometria, calcularem quina és la conjugada d'una translació $ \tau_{AB}^{}$ i d'un gir $ \rho_{O,\alpha}^{}$, en concret justificarem que f$ \tau_{A}^{}$f-1 = $ \tau_{f(A)f(B)}^{}$ i f$ \rho_{O,\alpha}^{}$f-1 = $ \rho_{f(O),\pm\alpha}^{}$.

En efecte si M és el punt mitjŕ de A i B, llavors f (M) és el punt mitjŕ de f (A) i f (B):

f$\displaystyle \tau_{AB}^{}$f-1 = f$\displaystyle \sigma_{M}^{}$$\displaystyle \sigma_{A}^{}$f-1 = f$\displaystyle \sigma_{M}^{}$f-1f$\displaystyle \sigma_{A}^{}$f-1 = $\displaystyle \sigma_{f(M)}^{}$$\displaystyle \sigma_{f(A)}^{}$ = $\displaystyle \tau_{f(A)f(B)}^{}$

En quant al conjugat del gir, expressem $ \rho_{O,\alpha}^{}$ com a composició de dues simetries axials d'eixos r i l que passen per O i formen un angle $ \alpha$/2, llavors:

f$\displaystyle \rho_{O,\alpha}^{}$f-1 = f$\displaystyle \sigma_{r}^{}$$\displaystyle \sigma_{l}^{}$f-1 = f$\displaystyle \sigma_{r}^{}$ff-1$\displaystyle \sigma_{l}^{}$f-1 = $\displaystyle \sigma_{f(r)}^{}$$\displaystyle \sigma_{f(l)}^{}$

les rectes f (r) i f (l ) es tallen en el punt f (O) i formen un el mateix angle que r i l, en el cas que f sigui directa, l'orientació de l'angle no canvia i resulta:

f$\displaystyle \rho_{O,\alpha}^{}$f-1 = $\displaystyle \rho_{f(O),\alpha}^{}$

en canvi si f és inversa f$ \rho_{O,\alpha}^{}$f-1 = $ \rho_{f(O),-\alpha}^{}$.