Centres i eixos de simetria

Suposem que F és una figura plana, P un punt, r una recta i g(F) el grup de simetria de la figura F.
$\begin{definicio}[punt de simetria de $F$] Un punt $P$\ del pla és un punt de simetria de $F$\ si la simetria central $\sigma_P\in g(F)$. \end{definicio}$

$\begin{definicio}[eix de simetria de $F$] Una recta $r$\ del pla és un eix de simetria de $F$\ si la simetria axial $\sigma_r\in g(F)$. \end{definicio}$

$\begin{definicio}[centre d'ordre $n\in\natu$, $(n>1)$] Un punt $P$\ és un centre... ... centre $P$que són de $g(F)$\ formen un grup cíclic d'ordre $n$. \end{definicio}$

Es pot demostrar que P és un centre d'ordre n de F si $\rho_{P,360^\circ/n}^{}$ $\in$ g(F) i qualsevol gir de centre P que sigui de g(F) té una amplitud en graus múltiple de 360^o/n.

$\begin{proposicio} Si $f$\ és una isometria de $g(F)$\ i $P$\ és un punt de simetria de $F$, llavors $f(P)$\ és un punt de simetria de $F$. \end{proposicio}$
En efecte, f $\sigma_{P}^{}$ f^-1 = $\sigma_{f(P)}^{}$ $\in$ g(F), atès que f, $\sigma_{P}^{}$ $\in$ g(F). $\Box$

$\begin{proposicio} Si $f$\ és una isometria de $g(F)$\ i $r$\ és un eix de simetria de $F$, llavors $f(r)$\ és també un eix de simetria de $F$. \end{proposicio}$
En efecte, f $\sigma_{r}^{}$ f^-1 = $\sigma_{f(r)}^{}$ $\in$ g(F), atès que f, $\sigma_{r}^{}$ $\in$ g(F). $\Box$

$\begin{proposicio} Si $f$\ és una isometria de $g(F)$\ i $P$\ és un centre d'ordre $n\in\natu$, llavors $f(P)$\ és un centre d'ordre $n$\ de $F$. \end{proposicio}$
En efecte, es dedueix de manera senzilla a partir del fet que: f $\rho_{P,\alpha}^{}$ f^-1 = $\rho_{f(P),\pm\alpha}^{}$ . $\Box$

A continuació analitzarem alguns exemples, on es descriu el grup de simetria d'una figura plana:

Hi ha quatre moviments que deixen fix un rectangle (no quadrat): id, $\sigma_{a}^{}$ , $\sigma_{b}^{}$ , r = $\rho_{O,180^\circ}^{}$

$\includegraphics{c:/ramon/geome/rectan1}$

Un triangle isósceles no equilàter té dos moviments que el deixen fix: id, $\sigma_{a}^{}$ .

$\includegraphics{c:/ramon/geome/isos1}$

Hi ha 6 moviments que deixen fix un triangle equilàter: id, $\sigma_{a}^{}$ , $\sigma_{b}^{}$ , $\sigma_{c}^{}$ , r = $\rho_{O,120^\circ}^{}$ , r² = ror = $\rho_{O,240^\circ}^{}$ .

$\includegraphics{c:/ramon/geome/equi1}$

Una figura com la lletra F només té un moviment que la deixa fixa que és id.

$\includegraphics{c:/ramon/geome/efe}$

El grup d'isometries que deixa fix un punt O són els girs de centre O amb amplitud $\alpha$ qualsevol i totes les simetries amb eix que passa per O.

$\includegraphics{c:/ramon/geome/circum1}$

Les isometries que deixen fixa una circumferència són les mateixes que les que deixen fix el centre.
Una recta r té també una infinitat de moviments que la deixen fixa: totes les translacions que tenen direcció paral·lela a r totes les simetries axials d'eix perpendicular a r, tots els girs de centre un punt de r i angle 180^o i tots els lliscaments d'eix r.
$\includegraphics{c:/ramon/geome/recta1}$

Si el grup de simetria d'una figura és finit, podem escriure la taula de composició del grup de moviments, així, la taula del grup d'isometries que deixa fix un rectangle no quadrat és:

`o`	id	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	r
id	id	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	S_b	r
$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	id	r	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$
$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	r	id	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$
r	r	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	id

El grup de simetria d'un triangle equilàter té 6 elements G = {id, r, r², $\sigma_{a}^{}$ , $\sigma_{b}^{}$ , $\sigma_{c}^{}$ } amb taula:

`o`	id	r	r²	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{c}^{}$
id	id	r	r²	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{c}^{}$
r	r	r²	id	$\displaystyle \sigma_{c}^{}$	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$
r²	r²	id	r	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{c}^{}$	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$
$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{c}^{}$	id	r	r²
$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	$\displaystyle \sigma_{c}^{}$	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	r²	id	r
$\displaystyle \sigma_{c}^{}$	$\displaystyle \sigma_{c}^{}$	$\displaystyle \sigma_{a}^{}$	$\displaystyle \sigma_{b}^{}$	r	r²	id