El grup de simetria d'una sanefa

Atès que les isometries d'una sanefa F d'eix r han de fixar l'eix i que les translacions estan generades per una translació $ \tau$, (la direcció de la translació és la de la recta r), les úniques isometries que poden formar part del grup de simetria G(F) són les següents:
  1. Les translacions $ \tau^{n}_{}$ amb n $ \in$ $ \enter$; si prenem un punt qualsevol A $ \in$ r, llavors escriurem An = $ \tau^{n}_{}$(A), per tant $ \tau$ = $ \tau_{A,A_1}^{}$.

    El punt mitjà d'A i A1 l'escriurem M i Mn = $ \tau^{n}_{}$(M)

    \includegraphics{c:/ramon/geome/sane1}
    Observem que el punt mitjà d'A i A2k és Ak, mentre que el punt mitjà d'A i A2k + 1 és Mk.
  2. Els girs de centre A $ \in$ r i amplitud 180o, si $ \rho_{A,180^\circ}^{}$ $ \in$ G(F), llavors A és un punt de simetria de F.

    Els punts de simetria d'una sanefa no poden ser tan pròxims com es vulgui, ja que si A i B són dos punts de simetria de F, llavors $ \sigma_{B}^{}$$ \sigma_{A}^{}$ = $ \tau_{A,P}^{}$ on P = $ \tau_{A,B}^{}$(B), per tant 2AB = AP$ \le$AA1, per tant, la mínima distància a què es troben dos punts de simetria de F és AA1/2.

    \includegraphics{c:/ramon/geome/sane2}

    Suposem que A és un punt de simetria de F, llavors, com $ \tau^{n}_{}$ $ \in$ G(F) i $ \tau^{n}_{}$(A) = An, resulta que An també és un punt de simetria de F (vegeu la proposició 3.2 de la pàgina [*]); el punt M també serà de simetria de F atès que $ \tau$$ \sigma_{A}^{}$ = $ \sigma_{M}^{}$ i per tant Mn també serà un punt de simetria de F ja que Mn = $ \tau^{n}_{}$(M). No hi pot haver més punts de simetria, doncs un altre punt estaria en un dels segments AnMn o MnAn + 1 i per tant trobaríem dos punts de simetria a distància inferior a AA1/2.

  3. La simetria axial d'eix r deixa fixa r, per tant $ \sigma_{r}^{}$ és una isometria que pot pertanyer a G(F).

    Si $ \sigma_{r}^{}$ $ \in$ G(F), llavors r és un eix de simetria de la sanefa F i els lliscaments $ \tau^{n}_{}$$ \sigma_{r}^{}$, també seran de G(F), aquests lliscaments tenen eix r i porten A sobre An. Recíprocament, si el lliscament d'eix r que porta A sobre An és de G(F), llavors $ \sigma_{r}^{}$ $ \in$ G(F).

  4. Una simetria axial d'eix c amb c $ \perp$ r deixa fixa r, per tant també hi ha la possibilitat que $ \sigma_{c}^{}$ $ \in$ G(F), quan això passa, la recta c és un eix de simetria de F.

    Els eixos de simetria perpendiculars a r han d'estar a distància superior o igual AA1/2 ja que si $ \sigma_{c}^{}$,$ \sigma_{d}^{}$ $ \in$ G(F), llavors $ \sigma_{d}^{}$$ \sigma_{c}^{}$ és la translació $ \tau_{AP}^{}$, per tant 2AB = AP$ \le$AA1, per tant, AB$ \le$AA1/2.

    \includegraphics{c:/ramon/geome/sane4}

    Suposem que $ \sigma_{c}^{}$ $ \in$ G(F), sigui A = c $ \cap$ r, amb la mateixa notació anterior An = $ \tau^{n}_{}$(A), resulta que G(F) conté les simetries axials $ \sigma_{c_n}^{}$ respecte la recta cn $ \perp$ r en el punt An, ja que cn = $ \tau^{n}_{}$(c). G(F) conté $ \sigma_{d}^{}$ on d és la recta perpendicular a r en el punt M ja que $ \sigma_{d}^{}$ = $ \tau_{A,A_1}^{}$$ \sigma_{c}^{}$, també G(F) contindrà totes les simetries axials $ \sigma_{d_n}^{}$ on dn = $ \tau^{n}_{}$(d ).

    \includegraphics{c:/ramon/geome/sane3}

    No pot haver més simetries axials paral·leles a c atès que una nova simetria axial implicaria l'existència de dues simetries axials a distància inferior a AA1/2.

  5. Per acabar, G(F) pot contenir lliscaments d (r, A, P) = $ \tau_{A,P}^{}$$ \sigma_{r}^{}$, on A i P són dos punts de la recta r, suposem que l (r, A, P) $ \in$ G(F), llavors l2 = $ \tau_{A,Q}^{}$ $ \in$ G(F), on Q és el simètric d'A respecte P, per tant Q = An, com P és el punt mitjà d'A i An, llavors: