Rosasses

En aquest apartat estudiarem les figures geomètriques planes que tenen centre, la qual cosa es tradueix en el fet que tenen un grup de simetria finit i que existeix un punt O que és fix per totes les isometries que deixen fixa la figura.

Una figura que presenta aquest tipus de simetria s'anomena rosassa, en la figura que hi ha a continuació observem dues figures que tenen centre en el sentit que hem explicitat. Una primera propietat d'aquests grups de simetria és que no poden tenir cap translació ni lliscament ja que aquests dos tipus de simetria no tenen cap punt fix, per tant, els únics possibles moviments que deixen fixa una rosassa són girs de centre O i les simetries axials que passen per O.

\includegraphics{c:/ramon/geome/ros}

L'exemple més senzill és el de la rosassa trivial en la qual l'única isometria que fixa la figura és la identitat, la figura no té cap simetria i només té un interès teòric.

Per analitzar els casos no trivials, pensem primer en el cas en què el grup d'simetria de la rosassa conté només girs, prenent $ \alpha$ l'amplitud més petita (en valor absolut) dels girs, resulta que existeix n $ \in$ $ \natu$ tal que n$ \alpha$ = 360o, atès que el grup de simetria és finit, es pot raonar fàcilment que qualsevol altre gir que deixa fixa la rosassa té una amplitud múltiple de $ \alpha$, el grup de simetria té n elements que són els girs d'angles:

{$\displaystyle \alpha$, 2$\displaystyle \alpha$, 3$\displaystyle \alpha$..., (n - 1)$\displaystyle \alpha$n$\displaystyle \alpha$}, amb$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{360^\circ}{n}}$

aquest tipus de grup de simetria s'anomena cíclica Cn, (el cas n = 1 és el de la rosassa trivial).
\includegraphics{c:/ramon/geome/ros3}

Rosassa Cn

Arrossegueu els punts de color vermell

Una altra possibilitat és que el grup de simetria de la rosassa contingui isometries inverses o sigui alguna simetria $ \sigma_{r}^{}$ amb O $ \in$ r, llavors:
Si no hi ha girs, el grup de simetria està format per {id$ \sigma_{r}^{}$}, aquest tipus de simetria s'anomena diedral D1.
\includegraphics{c:/ramon/geome/ros5}

Rosassa Dn

Arrossegueu els punts de color vermell