Xarxa de punts d'un mosaic

Suposem que $ \W$ és un grup de simetria del pla i $ \T$ les seves translacions. Prenguem un punt qualsevol A i totes les seves imatges per les translacions de $ \T$, obtindrem un conjunt de punts que s'anomena xarxa de $ \W$ generada per A, i escriurem $ \X$(A). Els punts de la xarxa d'A es poden expressar de la forma Ai, j = $ \tau_{1}^{i}$$ \tau_{2}^{j}$(P), on ij $ \in$ Z. Cada paral·lelogram Ai, jAi + 1, jAi + 1, j + 1Ai, j + 1 s'anomena cel·la reticular o unitària de $ \W$ generada $ \tau_{1}^{}$, $ \tau_{2}^{}$ i A. Observem que el concepte de cel·la reticular depèn d'A i dels generadors $ \tau_{1}^{}$ i $ \tau_{2}^{}$, en canvi, la xarxa de punts només depèn d'A.
\includegraphics{c:/ramon/geome/retpara}
La figura que hi ha a continuació mostra que una mateixa xarxa de punts pot tenir diverses cel·les reticulars no congruents. Si es pretén dissenyar un mosaic, només cal conèixer el motiu o sigui la part dibuixada en una cel·la reticular, atès que les translacions d'aquesta cel·la en les direccions dels seus costats ens permetrà generar la totalitat del mosaic.
\includegraphics{c:/ramon/geome/xarxa}

Una xarxa de punts de $ \W$ es diu que és rectangular, ròmbica o hexagonal, si existeix alguna cel·la reticular que té forma de rectangle, rombe o rombe amb un angle de 60o respectivament.

\includegraphics{c:/ramon/geome/xarxes}

El número de punts de la xarxa que estan en l'interior d'una regió acotada és evidentment finit ja que $ \tau_{1}^{}$ i $ \tau_{2}^{}$ tenen direcció diferent, aquest fet implica que donat un punt qualsevol A, existeix un punt B $ \in$ $ \X$(A) que està a distància mínima d'A, tots els altres punts C de la xarxa compleixen AC$ \ge$AB; $ \tau_{A,B}^{}$ serà doncs la translació de $ \T$ de longitud mínima, aquesta longitud l'anomenarem talla del mosaic.
\begin{definicio}[talla]
La talla $t$\ d'un mosaic és la menor de les longituds ...
...
t=\min\{AB\ /\ B\in\X(A) \textrm{ i } B\ne A\}
\end{displaymath}\end{definicio}

Atès que el conjunt de translacions $ \T$ = < $ \tau_{1}^{}$$ \tau_{2}^{}$ > pot està generat per altres parelles de translacions, amb cel·les reticulars de forma diferent, ens podem preguntar per les condicions que han de complir un parell de translacions per tal que generin $ \T$, es poden demostrar les següents proposicions:
\begin{proposicio}
Siguin $B$, $C\in \X(A)$, llavors:
\begin{displaymath}
<\tau_...
... $\X(A)$en l'interior del paral·lelogram ABCD}
\end{displaymath}\end{proposicio}

\begin{proposicio}
Si $B\in\X(A)$\ és el punt de la xarxa més pròxim a $A$\ i $C...
...recció diferent a $AB$, llavors
$\T=<\tau_{A,B},\ \tau_{A,C}>$.
\end{proposicio}

\begin{proposicio}
Sigui $r$\ una recta tal que $A\in r$\ de manera que $r$\ con...
...istància mínima de $r$,
llavors $\T=<\tau_{A,B},\ \tau_{A,C}>$.
\end{proposicio}