Mosaics amb simetries axials

Sigui $ \M$ un mosaic tal que $ \sigma_{r}^{}$ $ \in$ $ \W$, demostrarem que r és paral·lela a la diagonal d'una xarxa de punts ròmbica o bé al costat d'una xarxa de punts rectangular.

En efecte, sigui P $ \in$ r, considerem la xarxa generada per P. La recta r ha de contenir altres punts de la xarxa ja que si R és un punt de la xarxa, el punt S = $ \sigma_{r}^{}$(R) també és de la xarxa doncs:

$\displaystyle \tau_{P,S}^{}$ = $\displaystyle \sigma_{r}^{}$$\displaystyle \tau_{P,R}^{}$$\displaystyle \sigma_{r}^{-1}$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle \T$,

per tant, Q = $ \tau_{P,S}^{}$(R) $ \in$ $ \X$(A) i Q $ \in$ r.
\includegraphics{c:/ramon/geome/axial1}

Sigui Q el punt de r i de la xarxa a distància mínima de P, i R el punt de la xarxa a distància mínima de r, el conjunt de translacions $ \T$ = < $ \tau_{P,R}^{}$$ \tau_{P,Q}^{}$ >. Prenguem M el punt mitjà de P i Q i a, c les rectes perpendiculars a r pels punts M i P respectivament, sigui també b = $ \sigma_{P}^{}$(a).

Podem suposar que R està entre a i b,5.1 i sense pèrdua de generalitat que està en c, en a o entre a i c, llavors:

\includegraphics{c:/ramon/geome/axial2}