Mosaics amb lliscaments

Suposem ara que $ \M$ és un mosaic tal que el seu grup de simetria conté un lliscament l (r, P, Q). Demostrarem també que r és paral·lela a la diagonal d'una cel·la reticular ròmbica o al costat d'una cel·la reticular rectangular.

La composició l (r, P, B)ol (r, P, B) és una translació $ \tau_{P,A}^{}$ amb A $ \in$ r. Prenguem la xarxa de punts generada per P i sigui sigui Q el punt de r i de la xarxa més pròxim a P, resultarà $ \tau_{P,A}^{}$ = $ \tau_{P,Q}^{n}$. Es poden donar les situacions següents:

\includegraphics{c:/ramon/geome/llisca1}

Considerem R $ \not\in$r el punt de la xarxa més pròxim a la recta r, tal com s'ha proposat a l'apartat anterior $ \T$ = < $ \tau_{P,R}^{}$$ \tau_{P,Q}^{}$ >, es pot suposar que R està entre les rectes a i b on a és la perpendicular a r que passa per M i b = $ \sigma_{P}^{}$(a); si c la perpendicular a r que passa per P, sense pèrdua de generalitat, podem suposar que R està en a, en c o entre a i c, llavors:

\includegraphics{c:/ramon/geome/llisca2}

\begin{proposicio}
Si $\W$\ conté un lliscament $\gamma$\ que transforma un punt...
...re punt de $C\in\X(A)$, llavors $\W$\ conté una
simetria axial.
\end{proposicio}
En efecte només cal composar el lliscament amb la translació $ \tau_{C,B}^{}$, el resultat és una isometria inversa de $ \W$ que fixa B, per tant és una simetria axial d'eix que passa per B.