Mosaics amb lliscaments

Suposem ara que $\M$ és un mosaic tal que el seu grup de simetria conté un lliscament l (r, P, Q). Demostrarem també que r és paral·lela a la diagonal d'una cel·la reticular ròmbica o al costat d'una cel·la reticular rectangular.

La composició l (r, P, B)ol (r, P, B) és una translació $\tau_{P,A}^{}$ amb A $\in$ r. Prenguem la xarxa de punts generada per P i sigui sigui Q el punt de r i de la xarxa més pròxim a P, resultarà $\tau_{P,A}^{}$ = $\tau_{P,Q}^{n}$. Es poden donar les situacions següents:

• n = 2k $\Rightarrow$ $\tau_{P,B}^{}$ = $\tau_{P,Q}^{k}$ i $\sigma_{r}^{}$ $\in$ W
• n = 2k + 1. Si M el punt mitjà de P i Q, resultarà que el lliscament $\gamma$ = l (r, P, M) $\in$ $\W$ (vegeu la pàgina ).

Considerem R $\not\in$r el punt de la xarxa més pròxim a la recta r, tal com s'ha proposat a l'apartat anterior $\T$ = < $\tau_{P,R}^{}$, $\tau_{P,Q}^{}$ >, es pot suposar que R està entre les rectes a i b on a és la perpendicular a r que passa per M i b = $\sigma_{P}^{}$(a); si c la perpendicular a r que passa per P, sense pèrdua de generalitat, podem suposar que R està en a, en c o entre a i c, llavors:

• Si R $\in$ c, r és paral·lela al costat d'una cel·la reticular rectangular.
• Si R $\in$ a, prenent S = $\gamma$(A), resulta $\tau_{M,S}^{}$ = $\gamma$$\tau_{P,R}^{}$$\gamma^{-1}_{}$ $\in$ $\W$; $\T$ = < $\tau_{P,R}^{}$,$\tau_{P,Q}^{}$ > = < $\tau_{P,R}^{}$,$\tau_{M,S}^{}$ >, i r és paral·lela a la diagonal d'una cel·la reticular ròmbica.
• Si R està entre a i c s'arriba a un absurd ja que T = $\tau_{M,S}^{}$(R) és un punt de r $\cap$ $\X$(A) més pròxim a P que el punt Q.

En efecte només cal composar el lliscament amb la translació $\tau_{C,B}^{}$, el resultat és una isometria inversa de $\W$ que fixa B, per tant és una simetria axial d'eix que passa per B.