... punts1.1
Euclides (? 300 aC) defineix punt com allò que no té parts, nosaltres no definirem els punts i ens concentrarem en identificar la manera en què els manejarem i els relacionarem.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...congruència1.2
La idea de congruència correspon al fet que els segments es poden superposar després d'un moviment rígid del pla; aquest concepte de congruència s'estén a altres figures geomètriques (angles, triangles, polígons,...). Intuïtivament, dues figures són congruents si es poden superposar després d'haver-les ''retallat'', de vegades en lloc de la paraula congruència s'utilitza la paraula ''igualtat'', d'aquesta manera, en dir ''els costats d'aquest triangle són iguals'', s'entén que volem dir que els costats són congruents.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... euclidiana1.3
Aquest postulat provocà al llarg de molts segles una forta controvèrsia, que finalment es va resoldre amb el naixement de les geometries no euclidianes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... positiu)1.4
El sentit contrari a les agulles del rellotge es pren positiu de manera convencional, o sigui ens posem d'acord de la mateixa manera que ens posem d'acord en circular per la dreta.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... suplementaris,1.5
La justificació d'aquest fet es troba en l'axiomàtica que caracteritza la geometria euclidiana, si $ \angle$4 + $ \angle$5 < 180º, llavors r i s es tallarien del costat on estan situats aquests angles, l'altra possibilitat $ \angle$4 + $ \angle$5 > 180º tampoc es pot donar ja que es compliria $ \angle$3 + $ \angle$6 < 180o i llavors r i s es tallarien del costat on estan $ \angle$3 i $ \angle$6.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... iguals).1.6
Aquest teorema rep el nom ''Pons asinorum'' per la cèlebre figura que acompanya la seva demostració en el llibre dels Elements d'Euclides que té forma de pont, els alumnes que entenien la demostració ja havien passat el ''pont dels ases''.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...\space 1.7
El primer matemàtic que simbolitzà numèricament aquest tipus de polígons va ser L. Schläfli (1815-1895), encara que hi ha estudis més antics d'aquest tipus de polígons com els de Thomas Bradwardine (1290-1349) o els de Kepler (1571-1630).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...inversa3.1
Encara que aquesta manera de definir les transformacions directes i inverses no sigui molt ortodoxa des del punt de vista matemàtic ''rigorós'', creiem que és força intuïtiu i té una gran potència per deduir qüestions no sempre fàcils sobretot si no utilitzem coordenades.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... isometries3.2
Es pot veure un anàlisi exhaustiu a [Martin, 1982].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...$$ \tau$$.4.1
Aquesta condició per les translacions també es podria enunciar de manera més intuïtiva de la forma següent: existeix com a mínim una translació que fixa $F$ i no existeixen translacions tan petites com es vulgui que fixen $F$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... plegat4.2
Per exemple en [Alsina et al., 1989] p. 92, també en [Grignon, 1985] i en [Esteva, 1985].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... definició4.3
Tal com es proposa en [Alsina et al., 1999] p. 73 i en [Alsina et al., 1987b].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...,5.1
Si R no està entre a i b, aplicant una translació adequada $ \tau_{P,Q}^{n}$ es pot aconseguir R en a, en b o entre a i b.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... identitat5.2
Si $ \tau_{P,B}^{}$ = id, resulta $ \rho_{Q,360/n}^{}$ = $ \rho_{P,360/n}^{}$ i per tant P = Q, o bé n = 1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... finit5.3
Si un cercle contingués un número infinit de centres d'ordre n, resultaria que podríem trobar n -centres tan pròxims com vulguem.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... equilàter)5.4
Per la construcció, cal prendre tres miralls rectangulars iguals i enganxar-los pels costats amb cinta adhesiva, una mesura rectangular que funciona prou bé és la del format DINA5 o sigui 210x148 mm.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... Truncament7.1
Aquesta nomenclatura s'utilitza a [Soler, 1991].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... políedre.7.2
En principi depèn de l'elecció d'una quàdrica a l'espai, aquest problema el podem salvar escollint l'esfera unitat centrada a l'origen.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... definida7.3
En aquesta assignació, queden sense imatge els plans que passen per l'origen de coordenades, aquesta circumstància no resulta ser molt problemàtica pel cas dels políedres que tenen algun centre atès que normalment cap de les cares passen per aquest centre de simetria, de tota manera, si volem resoldre el problema de manera definitiva no queda més remei que considerar els punts de l'infinit amb la geometria projectiva.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... Fuller7.4
L'arquitecte i enginyer BucKminster Fuller (1895-1983) va estudiar aquest tipus de construccions i en va realitzar un bona colla, com per exemple el pavelló del Estats Units a l'exposició universal de Montreal (1967). Les molècules químiques constituïdes per àtoms de carbò disposats en forma de pentàgons i hexàgons s'anomenen fullerens en honor a aquest arquitecte.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... triangulars.7.5
El manual [Alsina et al., 1991] dóna les instruccions per la construcció de cúpules icosaèdriques a partir de triangulacions de les cares amb freqüències 2 i 3; també en [Broman et al., 1988] es donen instruccions per la construcció d'una cúpula formada per pentàgons i hexàgons que és el políedre dual d'una cúpula icosaèdrica. Els manuals a l'abast que tracten el tema només donen la solució final de la construcció.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... políedre).7.6
Exercici proposat a [Massey, 1972].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... taula7.7
Vegeu indicacions en [Soler, 1991].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...afirmacions8.1
Possiblement el fet que el Sol tingués una grandària molt superior al de la Terra va fer suposar a Aristarc que fos la Terra la que girava al voltant del Sol.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... nadir8.2
Els astres visibles poden ser lleugerament diferents ja que que s'ha de considerar l'horitzó real (amb muntanyes, valls...) i els fenòmens de refracció atmosfèrica.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... astres8.3
Es pot precisar que en els pols Nord i Sud no està definit el meridià local atès que en aquests punts la vertical del lloc coincideix amb l'eix del món.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...eclíptica8.4
El nom eclíptica es deu al fet que és la trajectòria on s'ha de trobar la Lluna per tal que es produeixin els eclipsis.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... constants8.5
Les coordenades absolutes d'un estel fix no són estrictament constants per diversos motius, principalment pel fet que el punt Àries no és un punt fix en l'eclíptica, atès que té un lent moviment per l'eclíptica (una volta completa cada 22.000 anys) anomenat precessió dels equinoccis i que és conseqüència del moviment de l'eix de rotació de la Terra, per poder-ho imaginar podem pensar que la Terra té un moviment semblant al d'una baldufa quan gira.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... mencionat.8.6
El programa permet escollir h0 i A0 i l'amplitud en graus de la regió visualitzada, simulant l'efecte d'un telescopi enfocat al punt de l'esfera celest de coordenades horitzontals h0 i A0.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ma''8.7
Cal comentar que hi ha diversos planisferis ''manuals'' fabricats amb bons materials, però que tenen algun inconvenient, el més evident és que no estan preparats per la nostra latitud, conseqüentment un observador situat a la nostra latitud o inferior pot veure estels que no apareixen en el planisferi de mà.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... cosir8.8
Per cosir o clavar els dos gràfics es pot fer amb un ''remache'' de llautó.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... uniforme8.9
Hi ha una ralentització secular degut en part a l'atracció de la lluna i als fenòmens de les marees.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... superior8.10
Cal comentar el fet que per ''definició'' el temps solar vertader només té un significat de mesura angular, independent del fet que el sol trigui més o menys en recórrer aquest angle, per exemple el pas de les 12 hores a les 13 hores significa que l'angle horari del Sol recorre exactament 15 graus, ara bé, com veurem posteriorment cadascun dels dies solars vertaders i per tant de les hores solars tenen una durada diferent.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....8.11
Per aconseguir altures negatives, cal fer l'inclinació superior a 90o.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.