Centres de simetria d'un mosaic

Recordem que les isometries d'una figura conserven centres i eixos de simetria (vegeu l'apartat 3.2 de la pàgina [*]), així doncs, si P és n-centre d'un mosaic i f és una isometria del mosaic tal que f (P) = Q, llavors, Q és un també un centre d'ordre n del mosaic; a més, els centres de simetria d'un mosaic no poden estar molt i molt pròxims, a continuació trobarem un cota inferior de la distància entre dos centres d'ordre n > 1.

Siguin P i Q dos centres d'ordre n > 1, llavors:

$\displaystyle \rho_{Q,360/n}^{}$o$\displaystyle \rho_{P,-360/n}^{}$ = $\displaystyle \tau_{P,B}^{}$

el triangle $ \triangle$PQB és isòsceles, per tant, PQ + QB = 2PQ$ \ge$PB $ \Rightarrow$ PQ$ \ge$PB/2,
\includegraphics{c:/ramon/geome/centresn}
com $ \tau_{P,B}^{}$ és una translació del grup $ \W$, --que no és la identitat5.2-- resulta que PB$ \ge$t, i per tant, PB$ \ge$t/2.


\begin{teorema}
Si $P\ne Q$\ són dos centres d'ordre $n>1$\ d'un mosaic periòdic, llavors $PQ\ge t/2$, on $t$\ és la
talla del mosaic.
\end{teorema}

De la mateixa manera, si P$ \ne$Q són dos centres d'ordre n i m respectivament i m = kn, (m, n > 1), resulta que PQ$ \ge$t/2 atès que els girs $ \rho_{P,360/n}^{}$ i $ \rho_{Q,360/n}^{}$ són de $ \W$ ja que:

$\displaystyle {\frac{360^\circ}{n}}$ = $\displaystyle {\frac{k360^\circ}{m}}$,

per tant:
\begin{teorema}[restricció cristal·logràfica]
Si $P$\ és un centre d'ordre $n>1$, llavors $n$\ ha de ser un
dels valors següents: 2, 3, 4 o 6.
\end{teorema}

En efecte, prenem Q el centre d'ordre n més pròxim a P, aquest punt Q existeix, atès que qualsevol cercle de centre P conté un número finit5.3 de centres d'ordre n.

Sigui R = $ \rho_{Q,360/n}^{}$(P), les mesures dels angles del triangle isòsceles $ \triangle$PQR són: $ \angle$Q = 360o/n i $ \angle$R = 90(n - 2)/n. Com R és també un n -centre de $ \W$, resulta RP$ \ge$PQ, per tant:

$\displaystyle {\frac{360^\circ}{n}}$$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\frac{90(n-2)}{n}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ n$\displaystyle \le$6

El cas n = 5 no es pot donar atès que si tornem a girar el punt Q al voltant de R 72o, obtenim un punt S tal que PS < PQ
\includegraphics{c:/ramon/geome/cristal}
Els casos n = 2, 3, 4, 6 no presenten contradicció com mostren les figures següents:
\includegraphics{c:/ramon/geome/cristal2}


\begin{proposicio}
Un mosaic amb centres d'ordre 4 no pot tenir centres d'ordre ...
...ordre 2 i algun d'ordre
3, llavors també en té algun d'ordre 6.
\end{proposicio}

En efecte, si P és un centre d'ordre 4 i Q un d'ordre 3, llavors existeix un gir de 30o que deixa fix el mosaic:

$\displaystyle \rho_{Q,120}^{}$$\displaystyle \rho_{P,-90}^{}$ = $\displaystyle \rho_{R,30}^{}$;

de la mateixa manera, un centre d'ordre 6 i un d'ordre 4 implica l'existència d'un gir de 30o:

$\displaystyle \rho_{P,90}^{}$$\displaystyle \rho_{Q,-60}^{}$ = $\displaystyle \rho_{S,30}^{}$

la qual cosa implica que S és un centre d'ordre 12 com a mínim.     $ \Box$

En els apartats que treballarem a continuació descriurem els diferents grups de simetria dels mosaics periòdics; una primera classificació consisteix en analitzar l'ordre màxim n dels centres del mosaic: