Mosaics d'ordre 6

Suposem que un mosaic té un centre A d'ordre 6; ja hem demostrat (vegeu la proposició 5.5) que no pot tenir 4-centres; a continuació justificarem que el centre M més pròxim a A és d'ordre 2; a més, A és el centre d'un hexàgon regular els vèrtexs del qual són centres d'ordre 3, els seus costats estan bisecats per centres d'ordre 2 i en l'interior d'aquest hexàgon l'únic centre del mosaic és el punt A.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo61}

En efecte, si pensem en M el centre més pròxim al punt A, resulta que M ha de ser un 2-centre ja que si M fos un 3 - centre, llavors $ \rho_{M,120}^{}$o$ \rho_{A,60}^{}$ = $ \rho_{P,180}^{}$ $ \in$ $ \W$, que és absurd ja que P seria un centre del mosaic més pròxim a A que M, pel mateix motiu, M no pot ser un centre d'ordre 6. La composició $ \rho_{M,180}^{}$o$ \rho_{A,-60}^{}$ és un gir de 120o, amb centre en el punt G, per tant, G és un centre d'ordre 3 o 6, si G fos un 6-centre, el punt J definit per $ \rho_{G,60}^{}$o$ \rho_{A,60}^{}$ = $ \rho_{J,120}^{}$ $ \in$ $ \W$ i J seria un centre més pròxim al punt A que M, per tant, G és un 3-centre. Les imatges de G i M pel girs successius de centre A i amplitud 60o donen els 3-centres i 2-centres que s'havien enunciat.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo62}

    $ \Box$

Per trobar una cel·la reticular, prenem B = $ \sigma_{M}^{}$(A) i C = $ \rho_{A,60}^{}$(B); és fàcil veure que B i C són centres d'ordre 6 que estan a distància mínima d'A. Com A és un 6-centre resulta que les translacions $ \tau_{A,B}^{}$ = $ \sigma_{M}^{}$$ \sigma_{A}^{}$ $ \in$ $ \W$, també, $ \tau_{A,C}^{}$ = $ \sigma_{N}^{}$$ \sigma_{A}^{}$ $ \in$ $ \W$. Qualsevol translació de $ \W$ ha de transformar 6-centres en 6-centres, per tant $ \tau_{A,B}^{}$ i $ \tau_{A,C}^{}$ són translacions de mínima longitud en $ \W$ i $ \T$ = < $ \tau_{A,B}^{}$,$ \tau_{A,C}^{}$ >.

S'anomena p6 al grup de simetria generat per $ \T$ i el gir $ \rho_{A,60}^{}$ p6 = < $ \tau_{A,B}^{}$,$ \tau_{A,C}^{}$,$ \rho_{A,60}^{}$ >, una de les cel·les reticulars és el rombe ABDC que té un angle de 60o. El quadrilàter NAMG s'anomena base de $ \W$, si dibuixem un motiu qualsevol en aquesta base, podrem construir el mosaic aplicant les isometries de $ \W$. En general una base d'un mosaic $ \M$ és una regió $ \B$ d'àrea mínima tal que el conjunt de les seves imatges {f ($ \B$) / f $ \in$ $ \W$} recobreix tot el pla.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo63}

A continuació mostrem un exemple de dos mosaics del tipus p6 on hem ressaltat la base amb el motiu corresponent.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo64}
A continuació mostrem una manera de generar un mosaic monoèdric del tipus p6:
\includegraphics{c:/ramon/geome/mo68}
Una altra manera de generar un mosaic monoèdric del tipus p6 s'esquematitza en el gràfic que hi ha a continuació:
\includegraphics{c:/ramon/geome/mo69}

Mosaic p6

Arrossegueu els punts de color vermell



Subseccions