Mosaics d'ordre 3

Un mosaic és d'ordre 3 és un mosaic amb algun centre d'ordre 3, però sense cap centre d'ordre 6. Una conseqüència immediata és que un mosaic d'ordre 3 només pot tenir centres d'ordre 3, en efecte, ja sabem que no hi pot haver centres d'ordre 4 (vegeu la proposició 5.5) i per hipòtesi no hi pot haver centres d'ordre 6; i tampoc hi pot haver centres d'ordre 2 ja que un centre d'ordre 3 i un ordre 2 implica l'existència d'un 6-centre:

$\displaystyle \rho_{A,-120}^{}$$\displaystyle \rho_{P,180}^{}$ = $\displaystyle \rho_{Q,60}^{}$

Suposem que $ \M$ és un mosaic d'ordre 3 amb grup de simetria $ \W$ i A un 3-centre, llavors, demostrarem que A és el centre d'un hexàgon regular tal que els vèrtexs són 3-centres, de manera que en l'interior de l'hexàgon l'únic centre és A.

En efecte, sigui G el centre de $ \M$ més pròxim al punt A, definim J de la manera següent:

$\displaystyle \rho_{G,120}^{}$$\displaystyle \rho_{A,120}^{}$ = $\displaystyle \rho_{J,240}^{}$

J és també un 3-centre, les imatges de G i J pels girs de centre A i amplitud 120o formen un hexàgon regular els vèrtexs del qual són 3-centres.     $ \Box$

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo31}

Repetint l'argument per cada 3-centre, resulta que la disposició dels 3-centres en un mosaic d'ordre 3 és la que es representa en la

figura següent.

Figura 5.1: Disposició dels 3-centres en un mosaic d'ordre 3
\includegraphics{c:/ramon/geome/mo32}

Observem que $ \tau_{A,G}^{}$ $ \not\in$$ \T$, ja que en cas contrari $ \rho_{G,120}^{}$$ \tau_{A,G}^{}$ = $ \rho_{Q,120}^{}$, on Q és el baricentre del triangle equilàter $ \triangle$AGJ i trobaríem un centre d'ordre 3 més pròxim al punt A que el punt G.

La translació $ \tau_{A,B}^{}$ definida per $ \tau_{A,B}^{}$ = $ \rho_{G,120}^{}$$ \rho_{A,-120}^{}$ pertany a $ \T$; no hi ha translacions de $ \T$ de menor longitud que $ \tau_{A,B}^{}$ ja que qualsevol translació ha de transformar 3-centres en 3-centres i $ \tau_{A,G}^{}$ $ \not\in$$ \T$, $ \tau_{A,J}^{}$ $ \not\in$$ \T$; de la mateixa manera $ \tau_{A,C}^{}$ = $ \rho_{G,-120}^{}$$ \rho_{A,120}^{}$ $ \in$ $ \T$, com $ \tau_{A,B}^{}$ i $ \tau_{A,C}^{}$ són translacions de longitud mínima en direcció diferent resulta $ \T$ = < $ \tau_{A,B}^{}$,$ \tau_{A,C}^{}$ >, donant lloc a la cel·la reticular hexagonal que està dibuixada a continuació; es pot prendre com a base del mosaic el rombe ressaltat.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo33}

S'anomena p3 el grup de simetria plana generat per les translacions $ \tau_{A,B}^{}$$ \tau_{A,C}^{}$ i el gir $ \rho_{A,120}^{}$.

p3 = < $\displaystyle \tau_{A,B}^{}$$\displaystyle \tau_{A,C}^{}$$\displaystyle \rho_{A,120}^{}$ >

A continuació es mostren dos exemples de mosaics amb grup de simetria p3 on s'ha ressaltat la base corresponent:

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo34}

Mosaic p3

Arrossegueu els punts de color vermell

Il·lustrem una manera de generar mosaics monoèdrics del tipus p3; la base és el rombe BGCH d'angles 60o i 120o on cada vèrtex és un 3-centre:
\includegraphics{c:/ramon/geome/mo35}


Subseccions