Mosaics d'ordre 3 amb isometries inverses

En primer lloc justificarem que si un mosaic d'ordre 3 té alguna isometria inversa, llavors, també ha de contenir alguna simetria axial, o sigui si $ \W$ conté algun lliscament, llavors també conté eixos de simetria axial. En efecte, suposem que el mosaic té un lliscament $ \gamma$ i no té eixos de simetria axial, llavors la imatge $ \gamma$(A) és un 3-centre i no pot ser un punt de la xarxa $ \X$(A); després d'aplicar una translació i un gir adequat, podem suposar que la imatge $ \gamma$(A) és el punt G o bé J (vegeu figura 5.1); suposem $ \gamma$(A) = G; el lliscament $ \gamma$ es pot descompondre de la forma $ \gamma$ = $ \sigma_{z}^{}$$ \sigma_{Z}^{}$ on Z és el punt mitjà d'A i G, i z és una recta que passa per G; com $ \sigma_{Z}^{}$ fixa tots els 3-centres, resulta que $ \sigma_{z}^{}$ també fixarà els 3-centres; composant amb un gir adequat, podem suposar que z és la recta $ \overleftrightarrow{GJ}$ o la mediatriu del segment JB:

De la mateixa manera, $ \gamma$(A) = J implica l'existència de la simetria axial d'eix la mediatriu del segment $ \overline{AJ}$.     $ \Box$

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo36}

Els únics mosaics d'ordre 3 amb isometries inverses són doncs els que tenen simetries axials, si l és un eix de simetria, haurà de transformar 3-centres en 3-centres i per tant haurà de passar per algun 3-centre, escollint el centre A de manera que A $ \in$ l i després d'un gir convenient, resultarà $ \sigma_{\overleftrightarrow{AB}}^{}$ $ \in$ $ \W$ o $ \sigma_{\overleftrightarrow{AG}}^{}$ $ \in$ $ \W$:

Les dues simetries axials $ \sigma_{\overleftrightarrow{AB}}^{}$ i $ \sigma_{\overleftrightarrow{AG}}^{}$ no es poden presentar juntes, ja que aquest supòsit implicaria l'existència d'un 6-centre en el punt d'intersecció A.

Una manera de diferenciar els mosaics del tipus p3m1 dels p31m, és fixar-se en els eixos de simetria i els 3-centres, mentre que en els p3m1 tots els 3-centres estan sobre eixos de simetria, en els p31m, hi ha 3-centres que no estan en eixos de simetria.

A continuació observem 4 exemples de mosaics d'ordre 3 amb eixos de simetria on s'ha ressaltat la base, el motiu i la cel·la reticular.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo39}

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo391}

Mosaic p3m1

Arrossegueu els punts de color vermell

Mosaic p31m

Arrossegueu els punts de color vermell