Mosaics d'ordre 3 amb isometries inverses

En primer lloc justificarem que si un mosaic d'ordre 3 té alguna isometria inversa, llavors, també ha de contenir alguna simetria axial, o sigui si $\W$ conté algun lliscament, llavors també conté eixos de simetria axial. En efecte, suposem que el mosaic té un lliscament $\gamma$ i no té eixos de simetria axial, llavors la imatge $\gamma$(A) és un 3-centre i no pot ser un punt de la xarxa $\X$(A); després d'aplicar una translació i un gir adequat, podem suposar que la imatge $\gamma$(A) és el punt G o bé J (vegeu figura 5.1); suposem $\gamma$(A) = G; el lliscament $\gamma$ es pot descompondre de la forma $\gamma$ = $\sigma_{z}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ on Z és el punt mitjà d'A i G, i z és una recta que passa per G; com $\sigma_{Z}^{}$ fixa tots els 3-centres, resulta que $\sigma_{z}^{}$ també fixarà els 3-centres; composant amb un gir adequat, podem suposar que z és la recta $\overleftrightarrow{GJ}$ o la mediatriu del segment JB:

• Si z = $\overleftrightarrow{GJ}$, llavors $\rho_{G,-120}^{}$$\gamma$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{AG}}^{}$$\sigma_{z}^{}$$\sigma_{z}^{}$$\sigma_{Z}^{}$= $\sigma_{\overleftrightarrow{AG}}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{ZJ}}^{}$ i per tant $\W$ té la simetria axial d'eix la mediatriu de AG.
• En el segon cas, $\gamma^{2}_{}$ = $\tau_{A,H}^{}$ i $\tau_{A,H}^{}$$\tau_{B,A}^{}$ = $\tau_{B,H}^{}$ $\in$ $\T$ que és una translació de menor longitud que $\tau_{A,B}^{}$, i per tant arribem a una contradicció.

De la mateixa manera, $\gamma$(A) = J implica l'existència de la simetria axial d'eix la mediatriu del segment $\overline{AJ}$.     $\Box$

Els únics mosaics d'ordre 3 amb isometries inverses són doncs els que tenen simetries axials, si l és un eix de simetria, haurà de transformar 3-centres en 3-centres i per tant haurà de passar per algun 3-centre, escollint el centre A de manera que A $\in$ l i després d'un gir convenient, resultarà $\sigma_{\overleftrightarrow{AB}}^{}$ $\in$ $\W$ o $\sigma_{\overleftrightarrow{AG}}^{}$ $\in$ $\W$:

• S'anomena p3m1 = < $\tau_{A,B}^{}$,$\tau_{A,C}^{}$,$\rho_{A,120}^{}$,$\sigma_{\overleftrightarrow{AG}}^{}$ >. La figura que hi ha a continuació mostra la cel·la reticular amb els centres i eixos de simetria:
  

• S'anomena p31m = < $\tau_{A,B}^{}$,$\tau_{A,C}^{}$,$\rho_{A,120}^{}$,$\sigma_{\overleftrightarrow{AB}}^{}$ >. La figura representada a continuació mostra la cel·la reticular amb els centres i eixos de simetria.
  

Les dues simetries axials $\sigma_{\overleftrightarrow{AB}}^{}$ i $\sigma_{\overleftrightarrow{AG}}^{}$ no es poden presentar juntes, ja que aquest supòsit implicaria l'existència d'un 6-centre en el punt d'intersecció A.

Una manera de diferenciar els mosaics del tipus p3m1 dels p31m, és fixar-se en els eixos de simetria i els 3-centres, mentre que en els p3m1 tots els 3-centres estan sobre eixos de simetria, en els p31m, hi ha 3-centres que no estan en eixos de simetria.

A continuació observem 4 exemples de mosaics d'ordre 3 amb eixos de simetria on s'ha ressaltat la base, el motiu i la cel·la reticular.

Mosaic p3m1

Arrossegueu els punts de color vermell

Mosaic p31m

Arrossegueu els punts de color vermell