Mosaics d'ordre 4

Un mosaic és d'ordre 4 quan té algun centre d'ordre 4, com ja s'ha demostrat (vegeu la proposició 5.5), no pot tenir centres d'ordre 3 ni d'ordre 6; suposem doncs que $ \M$ és un mosaic d'ordre 4 i A un 4-centre, a continuació justificarem que:
\begin{teorema}
El centre $M$\ més pròxim a $A$\ és un 2-centre; $A$\ és el cent...
...tres,i a més, l'únic centre en l'interior d'aquest quadrat és $A$.
\end{teorema}
En efecte, si M és el centre més pròxim a A, resulta que M ha de ser d'ordre 2 ja que si fos d'ordre 4, podríem trobar un punt K que seria un centre més pròxim a A que M:

$\displaystyle \rho_{M,90}^{}$$\displaystyle \rho_{A,90}^{}$ = $\displaystyle \rho_{K,180}^{}$

Sigui E definit per $ \rho_{M,180}^{}$$ \rho_{A,-90}^{}$ = $ \rho_{E,90}^{}$, llavors E és un 4-centre, aplicant el gir $ \rho_{A,90}^{}$ successivament als punts M i E obtenim el quadrat que s'havia enunciat.     $ \Box$

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo41}

Aplicant aquest teorema a tots els 4-centres que obtenim a partir d'A, s'obté la configuració característica de 4-centres i 2-centres d'un mosaic d'ordre 4:

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo42}

La translació $ \tau_{A,E}^{}$ $ \not\in$$ \T$, ja que en cas contrari, $ \tau_{A,E}^{}$$ \rho_{A,180}^{}$ = $ \rho_{Z,180}^{}$ $ \in$ $ \W$ i obtindríem un centre Z -- on Z és el punt mitjà d'A i E-- més pròxim a A que M. En canvi $ \tau_{A,B}^{}$ = $ \sigma_{M}^{}$$ \sigma_{A}^{}$ $ \in$ $ \T$ i $ \tau_{A,C}^{}$ = $ \sigma_{N}^{}$$ \sigma_{A}^{}$ $ \in$ $ \T$; no hi pot haver translacions de menor longitud ja que les translacions de $ \W$ han de conservar els 4-centres i $ \tau_{A,E}^{}$ $ \not\in$$ \W$, per tant:

$\displaystyle \T$ = < $\displaystyle \tau_{A,B}^{}$$\displaystyle \tau_{A,C}^{}$ >

Un mosaic d'ordre 4 que no té isometries inverses es diu que és del tipus p4; ha de contenir tots els centres d'ordre 4 i d'ordre 2 que hem mencionat, i no en pot tenir més. El grup de simetria p4 està generat per les següents isometries:

p4 = < $\displaystyle \tau_{A,B}^{}$,$\displaystyle \tau_{A,C}^{}$,$\displaystyle \rho_{A,90}^{}$ >

En la figura dibuixada a continuació es pot apreciar una cel·la reticular i el quadrilàter AMEN que és una base del mosaic (també és una base el triangle $ \triangle$AEB):
\includegraphics{c:/ramon/geome/mo43}

A continuació mostrem dos exemples de mosaics p4 on s'ha ressaltat la base i el motiu dibuixat en aquesta base:

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo44}

Il·lustrem una possible manera de generar mosaics monoèdrics del tipus p4:

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo45}

Mosaic p4



Subseccions