Mosaics d'ordre 4 amb isometries inverses

Començarem demostrant que un mosaic d'ordre 4 que té lliscaments, ha de contenir necessàriament alguna simetria axial.

En efecte suposem que $ \gamma$ és un lliscament de $ \W$ i que $ \W$ no conté simetries axials, llavors, $ \gamma$ ha de fixar els 4 centres i no ha de fixar la xarxa de punts $ \X$(A), composant amb una translació i gir convenient, podem suposar que $ \gamma$(A) = E. Es pot descompondre el lliscament $ \gamma$ de la forma $ \gamma$ = $ \sigma_{z}^{}$$ \sigma_{Z}^{}$ on Z és el punt mitjà d'A i E i z és una recta que passa per E; com $ \sigma_{Z}^{}$ fixa els 4-centres, necessàriament $ \sigma_{z}^{}$ també els haurà de fixar, per tant, z ha de ser $ \overleftrightarrow{NE}$, $ \overleftrightarrow{BE}$ o $ \overleftrightarrow{ME}$:

    $ \Box$

Així doncs les extensions de p4 amb isometries inverses han de contenir simetries axials. Si l és un eix de simetria ha de conservar necessàriament els 4-centres, a partir de la configuració dels 4-centres només s'observen dues possibilitats, que l passi pels 4-centres o que l estigui fora dels 4-centres, generant els següents grups de simetria:

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo43}

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo43}

 

 

El grup de simetria d'un mosaic d'ordre 4 no pot tenir les dues simetries $ \sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$ i $ \sigma_{\overleftrightarrow{NM}}^{}$ ja que aquest fet introduiria un centre de simetria en la intersecció $ \overleftrightarrow{AE}$ $ \cap$ $ \overleftrightarrow{MN}$.

A continuació observem 4 exemples de mosaics d'ordre 4 amb eixos de simetria on s'ha ressaltat la base el motiu i la cel·la reticular.

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo48}

\includegraphics{c:/ramon/geome/mo481}

Per diferenciar els mosaics del tipus p4m dels p4g, cal observar que en els del tipus p4m els eixos de simetria passen pels 4-centres i formen angles de 45o, mentre que els eixos de simetria dels mosaics del tipus p4g no passen pels 4-centres i formen un angle de 90o.

Mosaic p4m

Mosaic p4g

A continuació il·lustrem una manera de generar mosaics monoèdrics del tipus p4g:
\includegraphics{c:/ramon/geome/mo49}