Mosaics d'ordre 4 amb isometries inverses

Començarem demostrant que un mosaic d'ordre 4 que té lliscaments, ha de contenir necessàriament alguna simetria axial.

En efecte suposem que $\gamma$ és un lliscament de $\W$ i que $\W$ no conté simetries axials, llavors, $\gamma$ ha de fixar els 4 centres i no ha de fixar la xarxa de punts $\X$(A), composant amb una translació i gir convenient, podem suposar que $\gamma$(A) = E. Es pot descompondre el lliscament $\gamma$ de la forma $\gamma$ = $\sigma_{z}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ on Z és el punt mitjà d'A i E i z és una recta que passa per E; com $\sigma_{Z}^{}$ fixa els 4-centres, necessàriament $\sigma_{z}^{}$ també els haurà de fixar, per tant, z ha de ser $\overleftrightarrow{NE}$, $\overleftrightarrow{BE}$ o $\overleftrightarrow{ME}$:

• Si z = $\overleftrightarrow{NE}$, llavors $\rho_{E,90}^{}$$\gamma$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$\sigma_{\overleftrightarrow{NE}}^{}$$\sigma_{z}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{NM}}^{}$ $\in$ $\W$.

• Si z = $\overleftrightarrow{BE}$, llavors $\rho_{E,180}^{}$$\gamma$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$\sigma_{\overleftrightarrow{BE}}^{}$$\sigma_{z}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{NM}}^{}$ $\in$ $\W$.

• Si z = $\overleftrightarrow{ME}$, llavors $\rho_{E,-90}^{}$$\gamma$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$\sigma_{\overleftrightarrow{ME}}^{}$$\sigma_{z}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$\sigma_{Z}^{}$ = $\sigma_{\overleftrightarrow{NM}}^{}$ $\in$ $\W$.

    $\Box$

Així doncs les extensions de p4 amb isometries inverses han de contenir simetries axials. Si l és un eix de simetria ha de conservar necessàriament els 4-centres, a partir de la configuració dels 4-centres només s'observen dues possibilitats, que l passi pels 4-centres o que l estigui fora dels 4-centres, generant els següents grups de simetria:

• p4m = < $$\tau_{A,B}^{}$$,$$\tau_{A,C}^{}$$,$$\rho_{A,90}^{}$$ ,$$\rho_{A,90}^{}$$>

• p4g = < $$\tau_{A,B}^{}$$,$$\tau_{A,C}^{}$$,$$\rho_{A,90}^{}$$ ,$$\rho_{A,90}^{}$$>

 

 

El grup de simetria d'un mosaic d'ordre 4 no pot tenir les dues simetries $\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$ i $\sigma_{\overleftrightarrow{NM}}^{}$ ja que aquest fet introduiria un centre de simetria en la intersecció $\overleftrightarrow{AE}$ $\cap$ $\overleftrightarrow{MN}$.

A continuació observem 4 exemples de mosaics d'ordre 4 amb eixos de simetria on s'ha ressaltat la base el motiu i la cel·la reticular.

Per diferenciar els mosaics del tipus p4m dels p4g, cal observar que en els del tipus p4m els eixos de simetria passen pels 4-centres i formen angles de 45^o, mentre que els eixos de simetria dels mosaics del tipus p4g no passen pels 4-centres i formen un angle de 90^o.

Mosaic p4m

Mosaic p4g

A continuació il·lustrem una manera de generar mosaics monoèdrics del tipus p4g: