Mosaics d'ordre 2 amb isometries inverses

Suposem ara que $\M$ és un mosaic d'ordre 2 amb isometries inverses, per començar, pensem que $\sigma_{l}^{}$ $\in$ $\W$, llavors segons hem demostrat en 5.2.1, la cel·la reticular és ròmbica o rectangular: El cas en que la cel·la és ròmbica, l és paral·lela a la diagonal del rombe, com $\sigma_{l}^{}$ ha de transformar 2-centres en 2-centres, l ha de passar per un 2-centre, escollim A de manera que A $\in$ l; necessàriament $\W$ ha de contenir la simetria axial respecte l'altra diagonal de la cel·la reticular. Un mosaic amb aquest tipus de simetria es diu que és del tipus cmm i el grup de simetria està generat per:

cmm = < $$\tau_{A,B}^{}$$, $$\tau_{A,C}^{}$$, $$\sigma_{A}^{}$$, $$\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$ > ,

la cel·la reticular i la base es mostra a continuació:

En el gràfic següent hi ha representats dos exemples de mosaics cmm on s'han ressaltat les cel·les reticulars i les bases corresponents.

Mosaic cmm

Arrossegueu els punts de color vermell

• La segona possibilitat és que la xarxa sigui rectangular i l paral·lela a un costat d'una cel·la reticular en forma de rectangle ABDC, com l ha de transformar 2-centres en 2-centres, ara tenim dues possibilitats:
  1. l passa per un fila de 2-centres, amb la qual cosa s'han d'introduir les simtetries axials respecte els altres costats de la cel·la reticular; en aques cas el mosaic és del tipus pmm i el grup de simetria està generat per:

  pmm = < $$\tau_{A,B}^{}$$, $$\tau_{A,C}^{}$$, $$\sigma_{A}^{}$$, $$\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$ > ,

  

  A continuació mostrem dos exemples de mosaics pmm on s'han ressaltat les bases corresponents i les cel·les reticulars:

  

  Mosaic pmm
  

  Arrossegueu els punts de color vermell

   

  2. Si l no passa pels 2-centres, llavors l ha de bisecar una fila de 2-centres, si l és paral·lela a $\W$, podrem prendre l com las mediatriu $\W$, el mosaic s'anomena del tipus pmg i el grups de simetria està generat per:

     pmg = < $$\tau_{A,B}^{}$$, $$\tau_{A,C}^{}$$, $$\sigma_{A}^{}$$, $$\sigma_{\overleftrightarrow{AE}}^{}$$ > ,

     

A continuació mostrem dos exemples de mosaics pmg on s'han ressaltat les bases corresponents:

Mosaic pmg

Arrossegueu els punts de color vermell

Per acabar, pensem en un mosaic d'ordre 2, amb lliscaments però sense simetries axials, segons hem vist en l'apartat 5.2.2 la cel·la reticular ha de ser rectangular i l'eix de lliscament paral·lel a un dels costats del rectangle ABDC, si l'eix passa per una fila de 2-centres, resultarà que el mosaic tindrà una simetria axial, per tant, l'eix del lliscament ha de bisecar una fila de 2-centres, sigui p la mediatriu del segment $\overline{AN}$ i q la mediatriu de $\overline{AN}$, suposem que p és l'eix del lliscament; la imatge de M pel lliscament no pot ser C ja que la composició amb $\tau_{C,A}^{}$ donaria una simetria axial, per tant, la imatge de M haurà de ser N. Sigui $\gamma$ el lliscament d'eix p tal que $\gamma$(M) = N i $\gamma$(A) = E i $\epsilon$ el lliscament d'eix q tal que $\epsilon$(N) = M i $\epsilon$(A) = E, resulta que $\gamma$$\sigma_{A}^{}$ = $\epsilon$, per tant si un mosaic conté un dels dos lliscaments, també conté l'altre i a més tots els possibles, aquests mosaics són els del tipus pgg:

pgg = < $$\tau_{A,B}^{}$$, $$\tau_{A,C}^{}$$, $$\sigma_{A}^{}$$, $$\gamma$$ >

La figura que hi ha a continuació correspon a una cel·la reticular on s'ha ressaltat una possible base, les línies de punts corresponen a els eixos de lliscament.

A continuació mostrem dos exemples de mosaics pgg on s'han ressaltat les bases corresponents:

Mosaic pgg

Arrossegueu els punts de color vermell