Generació de mosaics amb miralls

Un calidoscopi dièdric és un dispositiu de tres o més miralls perpendiculars al pla horitzontal, connectats de manera que formin la part lateral d'un prisma recte, la part del mirall que reflexa està dirigida a l'interior del prisma.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/cali1}

L'interès d'aquest dispositiu és que si dibuixem un motiu qualsevol en la base del prisma, les imatges reflexades poden formar un mosaic periòdic.

Per exemple si el calidoscopi té forma de prisma recta amb base un triangle equilàter, dibuixant qualsevol motiu (sense simetries o sigui amb grup de simetria C1) en la base s'obté un mosaic del tipus p3m1, ja que les isometries dels mosaic del tipus p3m1 estan generades per les tres simetries axials $ \sigma_{r}^{}$$ \sigma_{l}^{}$,tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline21447#; aquest calidoscopi és molt corrent i es pot trobar en moltes tendes de joguines (al triple mirall se li incorpora un tub cilíndric de cartró, un visor per un costat i objectes de colors en l'altre costat).

\includegraphics{c:/ramon/geome/cali2}

Si el motiu que hem dibuixat en el triangle equilàter que serveix de base té alguna simetria, llavors el mosaic que resulta és més ''ric'', així si el motiu té simetria C3, el mosaic és del tipus p31m, si el motiu té simetria D1 o D3 el mosaic serà p6m.

Podem comprovar les afirmacions que hem fet en el paràgraf anterior, construint un calidoscopi d'aquest tipus (amb base un triangle equilàter) 5.4i provant els motius següents:

\includegraphics{c:/ramon/geome/cali4}

Una altra manera de generar mosaics del tipus p6m és amb un calidoscopi dièdric en forma de prisma triangular recte de base un triangle amb angles de 30o, 60o, i 90o, ja que el grup de simetria dels mosaics p6m estan generats per sigmal$ \sigma_{r}^{}$ i $ \sigma_{s}^{}$ >.

\includegraphics{c:/ramon/geome/cali3bi}

Si disposem quatre miralls rectangulars iguals de manera que formin la part lateral d'un prisma recte de base quadrada, obtenim un altre tipus de calidoscopi amb el que podrem generar diversos tipus de mosaics:

\includegraphics{c:/ramon/geome/cali6}

L'activitat 4 proposa fer una recerca del tipus de mosaics que es poden generar amb un dispositiu d'aquest tipus:

Per generar mosaics del tipus p4m amb miralls, es pot construir un calidoscopi dièdric en forma de prisma triangular de base un triangle rectangle amb angles de 45o, sigui quina sigui la simetria del motiu dibuixat, sempre es generarà un mosaic del tipus p4m.