Bases de V2

Sigui {$ \vec{e}_{1}^{}$,$ \vec{e}_{2}^{}$} un parell de vectors no nuls del pla amb direcció diferent, llavors, qualsevol vector lliure $ \vec{u} $ del pla V2 es pot expressar de manera única com a combinació lineal de $ \vec{e}_{1}^{}$ i $ \vec{e}_{2}^{}$, per aquest motiu, al parell de vectors {$ \vec{e}_{1}^{}$,$ \vec{e}_{2}^{}$} se'ls anomena base de V2:

$\displaystyle \forall$$\displaystyle \vec{u} $ $\displaystyle \in$ V2$\displaystyle \Lra$$\displaystyle \exists$$\displaystyle \la$,$\displaystyle \mu$ únics/ $\displaystyle \vec{u} $ = $\displaystyle \la$$\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ + $\displaystyle \mu$$\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$,

\includegraphics{c:/ramon/geome/base}

Base de V2

Arrossegueu els punts de color vermell

Justifiquem que l'expressió d'un vector $ \vec{u} $ com a combinació lineal de dos vectors que tenen direcció diferent és única, en efecte, $ \vec{u} $ = x$ \vec{e}_{1}^{}$ +  y$ \vec{e}_{2}^{}$ = x'$ \vec{e}_{1}^{}$ +  y'$ \vec{e}_{2}^{}$, llavors (x - x')$ \vec{e}_{1}^{}$ = (y' - y)$ \vec{e}_{2}^{}$ i per tant x - x' = y - y' = 0 ja que en cas contrari, resultaria que $ \vec{e}_{1}^{}$ i $ \vec{e}_{2}^{}$ estarien en la mateixa direcció.


\begin{definicio}[coordenades d'un vector]S'anomenen coordenades d'un vector $\v...
...
\begin{displaymath}
\vec u=x\vec e_1+y\vec e_2
\end{displaymath}\end{definicio}
Fixada una base, cada vector té un parell de coordenades i a cada parell de coordenades li correspon un vector:

$\displaystyle \vec{u} $ $\displaystyle \longleftrightarrow$ (x, y)

D'aquesta manera es pot identificar cada vector amb les seves coordenades i s'escriu $ \vec{u} $ = (x, y)

Coordenades d'un vector

Podeu arrossegar el punt vermell



Subseccions