Operacions amb coordenades

Calculem les coordenades del vector suma, i les del producte d'un escalar per un vector a partir de les coordenades dels vectors que volem operar:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}\vec u&=&(u_1,u_2)\  \vec v&=&(v_1,v_2)\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}\vec u&=&(u_1,u_2)\  \vec v&=&(v_1,v_2)\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{rcl}\vec u&=&(u_1,u_2)\  \vec v&=&(v_1,v_2)\end{array}}\right\}$$\displaystyle \Lra$$\displaystyle \vec{u} $ + $\displaystyle \vec{v} $ = (u1 + v1, u2 + v2),    $\displaystyle \la$$\displaystyle \vec{u} $ = ($\displaystyle \la$u1,$\displaystyle \la$u2)

En efecte, com $ \vec{u} $ = u1$ \vec{e}_{1}^{}$ + u2$ \vec{e}_{2}^{}$ i $ \vec{v} $ = v1$ \vec{e}_{1}^{}$ + v2$ \vec{e}_{2}^{}$, resulta:

$\displaystyle \vec{u} $ + $\displaystyle \vec{v} $ = (u1 + v1)$\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ + (u2 + v2)$\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$
$\displaystyle \la$$\displaystyle \vec{u} $ = ($\displaystyle \la$u1)$\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ + ($\displaystyle \la$u2)$\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$

Per tant $ \vec{u} $ + $ \vec{v} $ = (u1 + v1, u2 + v2) i $ \la$$ \vec{u} $ = ($ \la$u1,$ \la$u2)     $ \Box$