Equacions de la recta

El conjunt de punts d'una recta r queda determinat al conèixer un punt P $ \in$ r i la seva direcció, donada per un vector $ \vec{v} $$ \ne$ 0. Així un punt qualsevol de r es pot expressar de la forma

X = P + $\displaystyle \la$$\displaystyle \vec{v} $    on    $\displaystyle \la$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle \real$

\includegraphics{c:/ramon/geome/recta}

Aquesta expressió s'anomena equació vectorial de la recta r, que escrita en coordenades té la forma:

(x, y) = (x0, y0) + $\displaystyle \la$(v1, v2)

El número real $ \la$ s'anomena paràmetre. Igualant la primera i segona coordenada s'obtenen les equacions paramètriques de la recta:

$\displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{rcl}x&=&x_0+\la v_1\  y&=&y_0+\la v_2\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}x&=&x_0+\la v_1\  y&=&y_0+\la v_2\end{array}$

Al variar el paràmetre $ \la$ en tots els números reals, obtenim tots els punts de la recta. Eliminant el paràmetre --o sigui aïllant i igualant-- obtenim l'equació contínua de la recta:

$\displaystyle {\frac{x-x_0}{v_1}}$ = $\displaystyle {\frac{y-y_0}{v_2}}$

Simplificant els denominardors s'obté v2x - v1y + y0v1 - x0v2 = 0, que s'escriu abreujadament Ax + By + C = 0, aquesta equació s'anomena equació general o implícita de r. Observem que (v1, v2) = (- B, A) i que l'equació implícita expressa una condició necessària i suficient que ha de complir un punt (x, y) per pertànyer a la recta, dit d'una altra manera, les solucions de l'equació Ax + By + C = 0 són els punts de r.

Aïllant y en funció de x, s'obté l'equació explícita:

y = - $\displaystyle {\frac{A}{B}}$x - $\displaystyle {\frac{C}{B}}$ = mx + n

Si la referència de treball $ \mathcal {R}$ = {Oe1e2} és ortonormal, el valor m és la pendent de la recta i és la tangent de l'angle que forma la recta amb la part positiva de l'eix Ox.

m = - $\displaystyle {\frac{A}{B}}$ = $\displaystyle {\frac{v_2}{v_1}}$ = tan$\displaystyle \al$

\includegraphics{c:/ramon/geome/pendent}