Producte escalar

En aquest apartat treballarem el concepte de d'angle i distància en el conjunt de punts del pla. La intuïció geomètrica ens suggereix que a a cada parell de vector no nuls $ \vec{u} $$ \vec{v} $ s'els hi pot assignar l'angle $ \alpha$ no orientat que formen, 0$ \le$$ \alpha$$ \le$180o.

 

\includegraphics{c:/ramon/geome/angles}


\begin{definicio}S'anomena producte escalar\index{producte!escalar} de dos vecto...
...\vec v\textrm{ són no nuls.}
\end{array}\right.
\end{displaymath}\end{definicio}
Observem que per vectors no nuls el producte escalar $ \vec{u} $ . $ \vec{v} $ és:

La longitud de la projecció perpendicular de $ \vec{v} $ sobre $ \vec{u} $ es pot trobar amb la fórmula:

P$\scriptstyle \vec{u} $($\displaystyle \vec{v} $) = |$\displaystyle \vec{v} $| | cos$\displaystyle \alpha$| = $\displaystyle {\frac{\vert\vec u\cdot\vec v\vert}{\vert\vec u\vert}}$

A continuació enunciarem tres propietats que caracteritzen el producte escalar d'una manera completa:

  1. Simetria $ \vec{u} $ . $ \vec{v} $ = $ \vec{v} $ . $ \vec{u} $.
  2. Bilinealitat $ \vec{u} $ . ($ \vec{v} $ + $ \vec{w} $) = $ \vec{u} $ . $ \vec{v} $ + $ \vec{u} $ . $ \vec{w} $;        $ \vec{u} $ . ($ \la$$ \vec{v} $) = $ \la$($ \vec{u} $ . $ \vec{v} $).
  3. Definició positiva $ \forall$ $ \vec{u} $$ \ne$0$ \Lra$$ \vec{u} $ . $ \vec{u} $ > 0.
Les tres propietats, es poden resumir en la frase següent:un producte escalar és una forma bilineal, simètrica, definida positiva. Si coneixem la manera de calcular el producte escalar de dos vectors qualsevol, podrem trobar el mòdul d'un vector $ \vec{u} $ i l'angle $ \alpha$ que formen dos vectors amb les fórmules:

|$\displaystyle \vec{u} $| = $\displaystyle \sqrt{\vec u\cdot\vec u}$,        cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{\vec u\cdot\vec v}{\vert\vec u\vert \vert\vec v\vert}}$ (6.1)

A partir de les propietats anteriors es poden deduir les que s'enuncien a continuació:

Subseccions