Bases ortonormals

Es diu que una base $ \mc$B = {$ \vec{e}_{1}^{}$$ \vec{e}_{2}^{}$} de V2 és una base ortonormal, si tots els vectors de la base són unitaris -- o sigui de mòdul 1 -- i dos a dos són ortogonals, per tant:

$\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ . $\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ = $\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$ . $\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$ = 1,        $\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ . $\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$ = 0

L'expressió del producte escalar en una base ortonormal es força senzilla:

$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\vec u=(u_1,u_2)\\
\vec v=(v_1,v_2)\end{array}}\right.$$\displaystyle \begin{array}{l}
\vec u=(u_1,u_2)\\
\vec v=(v_1,v_2)\end{array}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{array}{l}
\vec u=(u_1,u_2)\\
\vec v=(v_1,v_2)\end{array}}\right\}$$\displaystyle \Lra$$\displaystyle \vec{u} $ . $\displaystyle \vec{v} $ = u1v1 + u2v2

En efecte $ \vec{u} $ = u1$ \vec{e}_{1}^{}$ + u2$ \vec{e}_{2}^{}$, $ \vec{v} $ = v1$ \vec{e}_{1}^{}$ + v2$ \vec{e}_{2}^{}$, aplicant la bilinealitat del producte escalar obtenim

$\displaystyle \vec{u} $ . $\displaystyle \vec{v} $ = $\displaystyle \sum_{i,j=1}^{2}$uivj$\displaystyle \vec{e}_{i}^{}$ . $\displaystyle \vec{e}_{j}^{}$ = u1v1 + u2v2

    $ \Box$

Això fa que si volem treballar els conceptes euclidis com distància, angle etc., convindrà fer-ho en una base ortonormal. Aquestes bases també s'anomenen rectangulars. Si no es diu el contrari, suposarem sempre que treballem en base ortonormal.