Bases de V3

Sigui {$ \vec{e}_{1}^{}$,$ \vec{e}_{2}^{}$,$ \vec{e}_{3}^{}$} tres vectors no nuls de l'espai linealment independents, llavors, qualsevol vector lliure $ \vec{u} $ del pla V3 es pot expressar de manera única com a combinació lineal de $ \vec{e}_{1}^{}$, $ \vec{e}_{2}^{}$ i $ \vec{e}_{3}^{}$:

$\displaystyle \forall$$\displaystyle \vec{u} $ $\displaystyle \in$ V3$\displaystyle \Lra$$\displaystyle \exists$$\displaystyle \la$,$\displaystyle \mu$,$\displaystyle \eta$$\displaystyle \vec{u} $ = $\displaystyle \la$$\displaystyle \vec{e}_{1}^{}$ + $\displaystyle \mu$$\displaystyle \vec{e}_{2}^{}$ + $\displaystyle \eta$$\displaystyle \vec{e}_{3}^{}$

Una terna de vectors {$ \vec{e}_{1}^{}$,$ \vec{e}_{2}^{}$,$ \vec{e}_{3}^{}$} amb aquesta propietat s'anomena base de V3

L'expressió d'un vector $ \vec{u} $ com a combinació lineal d'una base és única, ja que si $ \vec{u} $ = x$ \vec{e}_{1}^{}$ +  y$ \vec{e}_{2}^{}$ + z$ \vec{e}_{3}^{}$ = x'$ \vec{e}_{1}^{}$ +  y'$ \vec{e}_{2}^{}$ + z'$ \vec{e}_{3}^{}$, llavors (x - x')$ \vec{e}_{1}^{}$ + (y' - y)$ \vec{e}_{2}^{}$ + (z - z')$ \vec{e}_{3}^{}$ = $ \vec{0} $ i per tant x - x' = y - y' = z - z' = 0 ja que en cas contrari, resultaria que $ \vec{e}_{1}^{}$, $ \vec{e}_{2}^{}$ i $ \vec{e}_{3}^{}$ serien linealment dependents.


\begin{definicio}[coordenades d'un vector]S'anomenen coordenades d'un vector $\v...
...splaymath}
\vec u=x\vec e_1+y\vec e_2+z\vec e_3
\end{displaymath}\end{definicio}
Fixada una base, a cada vector li correspon una terna de coordenades i recíprocament, a cada terna de coordenades li correspon un vector:

$\displaystyle \vec{u} $ $\displaystyle \longleftrightarrow$ (x, y, z)

D'aquesta manera, una vegada s'ha escollit una base, es pot identificar cada vector amb les seves coordenades i s'escriu: $ \vec{u} $ = (x, y, z)



Subseccions