Seccions còniques com a interseccions de plans amb un mateix con

A finals del segle III aC, Apol·loni va escriure els vuit llibres de les Còniques, dels quals els quatre primers contenien resultats coneguts d’altres autors anteriors com Aristeu i Euclides. Una de les novetats de la presentació va ser la d’utilitzar un sol con no necessàriament recte per definir les seccions com a interseccions amb plans de diferents inclinacions.

Orígens de les seccions còniques

La qüestió dels orígens de les seccions còniques resta oberta quan examinem les obres clàssiques. Algunes idees per a la reflexió sobre el tema podrien ser:

• Menecm (IV aC) hagués pogut descobrir dues corbes còniques, la paràbola i la hipèrbola, com a corbes descrites a partir del seu symptoma, resultant de l'estudi del problema de les dues rectes, la qual cosa en permetria una construcció punt a punt per mètodes plans. Posteriorment ell mateix o algun altre investigador, moguts per l’interès de presentar les línies com a interseccions de superfícies, hagués pogut concebre’n alguna d'elles com a secció d’un con. Llavors, hagués pogut aparèixer l’interès en l’estudi de totes les seccions possibles en un con o en diferents tipus de cons.
• Les seccions d’un con haguessin pogut ser estudiades amb independència del problema de les dues rectes, prèviament o no, en relació als problemes de l’òptica i les representacions artístiques, de l’astronomia, o de les ombres en rellotges de Sol. Llavors, les propietats dels seus punts s’haguessin pogut estudiar directament sobre el con. Un cop descobertes aquestes propietats s’obriria el camí a dues interpretacions més:
  • Les propietats s’haguessin pogut utilitzar per descobrir la manera de generar les còniques punt a punt, i la resolució del problema de les dues rectes n’hagués sigut un subproducte.
  • O bé, el descobriment de les seccions com a corbes construïdes punt a punt per mètodes plans, hagués pogut ser previ o independent a l’estudi sobre el con. La motivació hagués pogut provenir del problema de les dues rectes o algun de similar. Llavors s’hagués comprovat la coincidència d’aquests dos tipus de corbes.
    

El que és clar és que les dues concepcions, la de generació punt a punt o plana, i la de seccions del con o sòlida, van conviure en la recerca i les presentacions, des d’algun moment abans d’Euclides fins molts segles després. Per exemple, Apol·loni, a les seves Còniques, utilitzà el con —la via sòlida– per a la seva presentació de les seccions, però l’estudi de les seves propietats les feu per mètodes plans.

Symptoma: Propietat que caracteritzava els punts d'una línia. Vindria a ser la descripció de la línia com a lloc geomètric dels punts que satisfan una propietat determinada.

Problema de les dues rectes:

Donats dos segments p i q, es tracta d'inserir dues mitjanes proporcionals x i y. És a dir, x i y han de complir

Aquestes mitjanes servien per duplicar un cub de costat c. Només cal agafar p=2c, q=c, i resulta que el costat x del cub duplicat satisfà

Presentació de línies com a intersecció de superfícies

L'interès en evitar certs tipus de paradoxes és una de les possibles causes de la recerca de mètodes, en la presentació de línies, alternatius als mètodes derivats de l'ús del seu symptoma.

Amb la generació de línies a partir de superfícies o mitjançant moviments, la línia es presenta a la ment com a tal línia, no com un conglomerat de punts que pot plantejar de problemes filosòfics en què intervé l’infinit. A més, la concepció de la línia a partir de la propietat que caracteritza els seus punts queda sotmesa a una certa dependència del mètode de construcció que s’associa a aquesta propietat. En aquest cas, els mètodes de construcció i la línia construïda tenen més a veure amb el món de les aparences, que no amb el món dels conceptes i idees que transcendeixen les aparences. Des d’aquest punt de vista es podria interpretar que, amb les concepcions de les línies com a interseccions de superfícies o generades per moviments, s’intentaria evitar la paradoxa de fer dependre la concepció dels objectes geomètrics, —els quals transcendien el món de les aparences—, de procediments i imatges d’aquest món. Un cas especial, en què ni tant sols la concepció de generació mitjançant moviments és satisfactòria, és el de la línia quadratriu, concebuda per trisecar l’angle i quadrar el cercle. D’ella es fa una primera presentació com a generada a partir del moviment de dos segments. Per dur-la a terme es necessitava conèixer la raò p/2 entre un quart de cercle i el seu radi, la qual cosa era equivalent a suposar conegut el resultat del problema de quadrar el cercle que es volia resoldre amb ella. Pappos va expressar la situació dient que la línia era “massa mecànica”, i va proposar una concepció alternativa utilitzant interseccions de superfícies. Una interpretació del perquè d'aquesta recerca d'alternativa, des del punt de vista de la filosofia, podria ser que la concepció de la quadratriu a partir de moviments s’ha de basar en una “aproximació” a la idea de p mitjançant un mecanisme. Llavors, això no és satisfactori, en ser la concepció d’aquesta línia dependent de moviments “poc geomètrics” (com equivalent a “massa mecànics” i lligats al món de les aparences), en estar concebuts sobre una aproximació mecànica de l’objecte ideal, —la raó p—.