Una aproximació a les tangències a través de la resolució del problema d'Apoloni

1.-CAS PPP. Dibuixar amb regle i compàs la circumferència que passa per tres punts donats.

Aquest cas pot ser considerat elemental i caure en l'error de dir com es fa. Però un alumne de primer o segon d'ESO hauria de descobrir-ho per ell mateix i, amb aquest objectiu, a continuació és resol el problema per particularització.

Suposem el problema resolt (figura en cabri)

Mirem la solució (figura de la dreta) i veiem que el centre està a la mateixa distància dels tres punts donats (aquesta distància és el radi). Volem determinar el centre. És massa difícil? Mirem de resoldre el mateix problema amb dos punts, potser serà més fàcil.

Quin és el lloc geomètric dels punts que equidisten de dos punts donats? (figura en cabri)

Experimentant amb llapis i paper es pot arribar a veure que aquest lloc geomètric és la recta perpendicular al segment determinat per aquests dos punts i que passa pel seu punt mig. Aquesta recta hom l'anomena mediatriu.

Podem utilitzar aquest resultat en el problema que ens ocupa? (figura en cabri)

Ens donen tres punts que podem anomenar A, B i C. Estem mirant de determinar el centre de la circumferència que passa per tots ells (que és un punt que equidista d'A, B i C).

Si n'escollim dos, per exemple A i B, el lloc geomètric dels punts que equidisten d'A i de B és la mediatriu del segment AB. De la mateixa manera el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten d'A i C és la mediatriu del segment AC. Fent el mateix amb els punts B i C obtenim la mediatriu del segment BC. .

Si un punt estés a sobre de les tres rectes aleshores compliria les tres condicions: estaria a la mateixa distància d'A i de B, també estaria a la mateixa distància d'A i de C i la tercera que diu que també estaria a la mateixa distància de B i de C.

Conclusió, estaria a la mateixa distància dels tres punts i seria, per tant, el centre de la circumferència!

 

Que tres rectes es tallin en un punt no és gens esperable. Les tres mediatrius es tallen però en un punt, per que?

  • La mediatriu del segment BC és el lloc geomètric dels punts que estan a la mateixa distància de B i de C.
  • La mediatriu del segment AC és el lloc geomètric dels punts que estan a la mateixa distància de A i de C.
  • Així, la intersecció d'amdues és un punt que està a la mateixa distància de A, B i C.
  • En particular, aquest punt d'intersecció està a la mateixa distància d'A que de B i, per tant, la mediatriu del segment AB també passa per ell (ja que la mediatriu del segment AB és el lloc geomètric dels punts que estan a la mateixa distància d'A i de B).