Una aproximació a les tangències a través de la resolució del problema d'Apoloni

3.- CAS PPC. Dibuixar amb regle i compàs la circumferència que és tangent a una circumferència i que passa per dos punts..

Aquest tractament del problema requereix estar relativament familiaritzat amb la potència d'un punt respecte d'una circumferència. Anomeno A i B els punts donats i r la recta donada. Pot ser adequada la seva realització a partir de 4t curs d'ESO.

Cas en què els dos punts són exteriors a la circumferència (figura en cabri)

Donats els punts A i B i la circumferència C (en color blau). Suposem en aquest primer cas que A i B són punts exteriors a la circumferència C. Sabem que el centre de la/les circumferència solució ha destar sobre la mediatriu m del segment AB ja que AB és una corda de la circumferència solució. Dibuixem ara una circumferència K quasevol que passi per A i B i que a més talli la circumferència C en dos punts Q i R (dibuixada en color verd). La recta que passa per A i B talla la recta que passa per P i Q en un punt P. En el cas que aquestes rectes fossin paral·leles, la recta m tallaria C en els dos punts de tangència de les circumferències solució amb la circumferència C. Ara observem que:
Pot(P,C)=PQ·PR
Pot(P,K)=PQ·PR
per tant
Pot(P,C)=Pot(P,K)
així, si dibuixem les rectes t i t' que passen per P i són tangents a C obtindrem dos punts de tangència: W i W'. En aquest cas Pot(P,C)=Pot(P,S)=PW·PW, t és l'eix radical de C i S, t és tangent a C i S, C i S són tangents en W.
Anàlegament amb S', t' i W'. Ara que ja tenim el raonament fet veiem que el punt P es pot obtenir directament com a intersecció entre la recta que passa per A i B i l'eix radical de la circumferència C donada i una circumferència qualsevol que passi per A i per B.

Cas en què els dos punts són interiors a la circumferència (figura en cabri)

Donats els punts A i B i la circumferència C (en color blau) amb els punts interiors a la circumferència. Treballant de manera anàloga al cas anterior obtenim les circumferències buscades. La macro construida pel cas anterior és vàlida també per aquest cas. S'ha desglosat perquè pot ser un exercici pels alumnes.

Altres casos particulars

Si un punt està sobre la circumferència i l'altra és interior o exterior hi ha una única solució (figura en cabri).

En aquest cas la construcció és molt més elemental i no requereix l'ús de la potència d'un punt respecte d'una circumferència. Per un cantó el centre de la circumferència solució està sobre la mediatriu del segment determinat pels dos punts donats. Per un altra cantó, està sobre la recta determinada pel centre de la circumferència donada i el punt que està sobre la circumferència. Per tant, el centre està en la intersecció d'ambdues rectes. Finalment, si un punt és interior i l'altra és exterior aleshores no hi ha solució ja que si una circumferència ha de passar pels dos punts aleshores també ha de tallar la circumferència en dos punts.