Suposem el problema resolt (figura en cabri)

Mirem una solució (figura de la dreta) i veiem que el centre està a la mateixa distància de les tres rectes donades. Veiem que el centre és un punt que està a la mateixa distància de les tres rectes (aquesta distància és el radi de la circumferència inscrita). Volem determinar el centre. És massa difícil? Mirem de resoldre un problema que ens ajudi. Quin és el lloc geomètric dels punts que equidisten de dues rectes donades?

Quin és el lloc geomètric dels punts que equidisten de dues rectes donades? (figura en cabri)

Experimentant amb llapis i paper es pot arribar a veure que, si les rectes es tallen, aquest lloc geomètric està format per dues rectes que divideixen en angles iguals els determinats per les dues rectes donades. Aquestes rectes hom les anomena bisectrius.

Podem utilitzar aquest resultat en el problema que ens ocupa? (figura en cabri)

Ens donen tres rectes que podem anomenar r, s i t. Mirem de determinar el centre de la circumferència que és tangent a totes ells (que és un punt que equidista de r, s i t).

Si n'escollim dues, per exemple r i s, el lloc geomètric dels punts que equidisten de r i de s són les bisectrius dels angles determinats per aquestes dues rectes. De la mateixa manera el lloc geomètric dels punts del pla que equidisten de r i t són les bisectrius dels angles determinats per les rectes r i t. Fent el mateix amb les rectes s i t obtenim les bisectrius dels angles determinats per elles.

Si un punt fós intersecció de tres rectes (una bisectriu per cada parell d'angles) aleshores compliria les tres condicions: estaria a la mateixa distància de r i de s, també estaria a la mateixa distància de s i de t i també estaria a la mateixa distància de s i de t.

Conclusió, estaria a la mateixa distància de les tres rectes i seria, per tant, el centre de la circumferència inscrita. Quan tenim el centre només cal per una perpendicular per ell a la recta on ha de ser tangent i el punt d'intersecció és el punt de tangència. Fent-ho obtenim la figura de la dreta on veiem que aquest cas té quatre solucions.

Que tres rectes es tallin en un punt no és gens esperable. Les tres bisectrius es tallen però en un punt, per què?

• Les bisectrius dels angles determinats per les rectes s i t són el lloc geomètric dels punts que equidisten de s i de t.
• Les bisectrius dels angles determinats per les rectes r i t són el lloc geomètric dels punts que equidisten de r i de t.
• Així, un punt intersecció d'elles equidista de s i de t i també equidista de r i de t, per tant, equidista de totes tres.
• En particular, estan a la mateixa distància de r i de s i, per tant, formen part de la bisectriu d'alguns dels angles determinats per les rectes r i s (ja que les bisectrius dels angles determinats per les rectes r i s són el lloc geomètric dels punts que estan a la mateixa distància de les rectes r i s).

Cas en què dues rectes siguin paral·leles i la tercera les talli (figura en cabri)

En aquest cas s'obtenen dues solucions. El centre de les circumferències solució està sobre la recta que equidista de les dues rectes paral·leles (ja que si les circumferències solució han de ser tangents a les dues rectes paral·leles, aleshores el diàmetre d'aquestes he ser la distàncies entre les dues rectes paral·leles). Les bisectrius de la recta secant amb cada recta de les dues paral·leles talla la recta construida en els centres buscats.

La macro que dibuixa les quatre circumferències tangents també funciona en aquest cas. Experimentant amb les rectes es pot veure que quan dues rectes tendeixen a ser paral·leles, aleshores dues de les quatre circumferències tendeixen a desaparèixer; en el límit no hi són.