Una aproximació a les tangències a través de la resolució del problema d'Apoloni

5.- CAS RRP. Dibuixar amb regle i compàs la circumferència que passa per un punt donat P i que és tangent a dues rectes donades r i s.

Aquest cas es pot reduir amb relativa facilitat al cas PPR Tot i així permet l'estudi de casos particulars que permeten tractar aquest problema en edats força prematures. Els casos particulars es poden iniciar en els dos primers cursos d'ESO i el general quan el cas PPR s'hagi realitzat, és a dir, en els dos darrers cursos de l'Educació Secundària Obligatòria.

Suposem el problema resolt (figura en cabri)

Mirem una solució (figura de la dreta) i veiem que el centre està a la mateixa distància de les dues rectes donades, el centre està sobre la bisectriu de l'angle en la regió on hi ha el punt donat. Si fem el simètric P' del punt donat P respecte de la bisectriu veiem un altre punt que també és de la circumferència solució, per què?

Per què la mediatriu del segment PP' és la bisectriu (de l'angle...) i passa pel centre, per tant, PP' és una corda de la circumferència buscada.

Conclusió. Trobar la/les circumferència que és tangent a r i s i que passa per P és equivalent a trobar la /les circumferència que passa per P i P' i que és tangent a r (o a s). Apliquem la macro PPR...

 

Cas particular(figura en cabri)

Si el punt donat P està sobre una de les rectes donades r, aleshores els centres de les circumferències buscades estan sobre la recta perpendicular a aquesta recta r i que passa per aquest punt P. A més els centres, igual que abans, estaran sobre les bisectrius de les dues rectes donades r i s.

Si el punt està en la intersecció d'ambdues rectes aleshores no hi ha solució.

 

Cas particular(figura en cabri)

Si les dues rectes donades r i s són paral·leles i el punt donat P està entre elles aleshores estem davant d'un cas senzill que es pot tractar clarament en els dos primers cursos de secundària obligatòria. Sabem que la/les circumferència solució té per diàmetre la distància entre les dues rectes. Fem una circumferència amb centre en P i radi la meitat d'aquesta distància. La recta paral·lela a r i s i que equidista d'elles talla aquesta circumferència en dos punts que són els centres de les circumferències solució.

Si el punt no està entre les dues rectes aleshores no hi ha solució. Si el punt està sobre una d'elles aleshores hi ha una única solució.