Una aproximació a les tangències a través de la resolució del problema d'Apoloni

6.- CAS RRC. Dibuixar amb regle i compàs la circumferència que és tangent a dues rectes donades r i s i també a una circumferència donada.

Aquest cas es pot reduir amb relativa facilitat al cas RRP Tot i així permet l'estudi de casos particulars que permeten tractar aquest problema en edats força prematures. Els casos particulars es poden iniciar en els dos primers cursos d'ESO i el general quan el cas RRP s'hagi realitzat, és a dir, en els dos darrers cursos de l'Educació Secundària Obligatòria.

Resolució reduint al cas RRP (figura en cabri)

Siguin r i s les rectes donades (en color negre) i C la circumferència donada (en color negre). Inicialment pensem què la circumferència està entre les dues rectes. Si, en particular, busquem una circumferència tangent a les dues rectes aleshores el centre haurà d'estar sobre la bisectriu de les dues rectes.

Tot i que es pot fer aquest problema d'altres maneres, anem a veure com podem reduir aquest cas al cas RRP. Considerem les rectes r' i s' (en color verd) paral·leles a r i s i que disten d'aquestes el radi de la circumferència donada. Considerem el problema de dibuixar la circumferència que passa pel centre de la circumferència C i que és tangent a les rectes r' i s'. Els centres d'aquestes circumferències (en color blau) són també els centres de les circumferències buscades. Si considerem les paral·leles interiors i actuem de la mateixa manera aleshores obtenim dues circumferències solució més (si la circumferència està totalment continguda entre les dues rectes).

Cas particular en què les rectes són paral·leles (figura en cabri)

Els centres de les circumferències buscades estan sobre la recta que equidista de les dues rectes paral·leles donades. Per acabar de determinar aquests centres veiem que també estan sobre la curcumferència amb el mateix centre que la circumferència donada i radi la suma del radi de la donada més la meitat de la distància entre les rectes paral·leles. També ofereix dues solucions considerar el mateix centre que la circumferència donada i per radi la diferència entre la meitat de la distància entre les dues rectes i el diàmetre de la circumferència donada (quan això és possible). Aquesta construcció particular no requereix coneixements avançats i és un problema que facilita el tractament creatiu en les classes de matemàtiques en cursos prematurs.

Cas particular en què la circumferència és tangent a una recta (figura en cabri)

Aquest cas que no aporta cap novetat respecte dels tractats anteriorment el mostro per la seva "espectacularitat". Fins a 6 circumferències tangents!!! (En altres casos fins a vuit)