Una aproximació a les tangències a través de la resolució del problema d'Apoloni

7.- CAS CCC. Dibuixar amb regle i compàs la circumferència que és tangent a tres circumferències donades.

Aquest és probablement el més complex. El resoldré per inversió i esmentaré altres maneres de resoldre'l. Per inversió es pot reduir a un cas particular del cas RRC. El seu tractament probablement escapa dels objectiu de l'Educació Secundària Obligatòria tot i que hi ha casos particulars que sí que poden ser tractats en aquesta darrera etapa obligatòria.

Problema resolt

 

Resolució reduint al cas RRC (figura en cabri)

Donades tres circumferències (en color negre gruixut) els modifiquen el radi a totes tres per igual de manera que dues d'elles siguin tangents obtenint així tres circumferències (en color fucsia) que tenen el mateix centre que les donades inicialment. Dibuixem una circumferència (en color vermell) pel punt de contacte d'aquestes dues circumferències tangents.

Invertim les tres circumferències (les fucsia) respecte de la circumferència vermella. Obtenim com a resultat dues rectes paral·leles (en color verd) i una circumferència (també en color verd). Ara hem de trobar les circumferències tangents a les dues rectes i a la circumferència estant en el cas RRC; el resultat són les circumferències blaves. Invertim de nou les circumferències blaves respecte de la circumferència vermella i com que la inversió és involutiva obtenim circumferències tangents (en color marró) a les circumferències fucsia.

Ara només queda modificar els radis per tal de corregir la modificació inicial obtenint així les circumferències (en color blau cel gruixut) tangents a les tres circumferències donades (en color negre gruixut).

Dibuix de totes les circumferències tangents (figura en cabri)

En l'inici d'aquesta pàgina es mostren totes les circumferències tangents a tres circumferències donades. Per fer-les dibuixem els dos centres d'homotècia de cadascuna de les tres circumferències. Aquests sis centres d'homotècia es troben en quatre rectes, tres en cadascuna d'elles. Per cadascuna d'aquestes rectes fem el pol respecte de cadascuna de les circumferències i unim el centre radical amb cadascun dels tres pols obtenint els punts de tangència de les circumferències buscades. Aquest sis punts es poden distribuir en dos grups de tres que determinen dues circumferències tangents. Fent aquest procediment per les quatre rectes obtenim les vuit solucions possibles.

 

Cas particular en què les circumferències són tangents i tenen el mateix radi (figura en cabri)

El que s'ha exposat d'aquest cas CCC és potser massa complex per ser tractat en l'ensenyament obligatori. Tot i així podem considerar casos particulars que sí que hi poden ser tractats. Així, si considerem tres circumferències del mateix radi i totes elles tangents entre sí, el problema es simplifica molt. Els centres determinen un triangle equilàter. El centre d'aquest és centre de les dues circumferències solució. Si dibuixem una mitjana (en un triangle equilàter coincideix amb una altura, bisectriu o mediatriu) aleshores aquesta passa pel punt de tangència de dues circumferències i talla l'altra en dos punts que són punts de tangència de les circumferències solució. Amb els centres i aquests punts de tangència el problema està resolt.