Resolució per intent de pas al límit (figura en cabri)

Aquesta manera d'abordar el problema només té per objectiu apropar l'alumne al concepte de límit en una situació força intuitiva. Tot i així, el resultat gràfic no és satisfactori.

Si considerem dues circumferències donades (les de color verd) i una tercera circumferència (la negra) amb centre en el punt P donat i radi r variable aleshores podem aplicar el cas CCC. Si fem que el radi r sigui cada vegada més petit (el podem modificar) aleshores les solucions per les tres circumferències cada vegada estan més a prop de les solucions per les dues circumferències i el punt donats.

El gràfic no és satisfactori perquè el cas CCC demana que els objectes inicials siguin tres circumferènicies i quan el radi variable és nul no en dibuixa cap. Per tant, hem vist una manera d'apropar-nos a la resolució d'un problema per pas al límit (aquests exemples hauríem d'aparèixer amb prou antelació a l'estudi d'aquest concepte facilitant així la seva posterior comprensió). Si pretenem que els alumnes aprenguis dels errors comesos aleshores també els docents hem de mostrar els camins que, tot i que no condueixen a resultats segellats, ens orienten cap a altres estratègies de resolució.

Cas particular en què dues circumferències són tangents (resolució per inversió) (figura en cabri)

Considerem donades dues circumferències tangents C1 i C2 (en color negre) i un punt P (també en color negre). Considerem una circumferència (la vermella) que té el centre en el punt de tangència d'ambdues circumferències i que passa pel centre d'una de les circumferències donades (de fet qualsevol altra circumferència també va bé). Invertim les dues circumferències C1 i C2 i també el punt respecte d'aquesta circumferència vermella obtenint les dues rectes C1' i C2' i també el punt P'. Ens proposem resoldre ara el problema invertit. Com que la inversió és involutiva, quan haguem resolt el problema invertit retornarem, invertint de nou, al problema original i les solucions es convertiran en solucions del problema original.

Cal dir que cabri quan dibuixa C1' i C2' les considera circumferències. Per tal de treballar com a rectes cal considerar dos punts sobre cadascuna, ocultar la circumferència i dibuixar rectes ocultant finalment aquests punts auxiliars.

Per trobar les circumferències tangents a les rectes C1' i C2' i que passen pel punt P' vaig el següent raonament. En primer lloc els centres d'aquestes estan sobre la recta que equidista de les rectes C1' i C2', és a dir, la recta de color blau cel. A més, aquestes circumferències han de tenir el centre a la mateixa distància de les rectes C1' i C2' que del punt P' ja que tant P' com els punts de tangència amb C1' i C2' són punts d'aquestes circumferències buscades. Per tant, aquests centres estan sobre les paràboles (en color groc) que tenen per focus P' i per recta directriu C1' i C2'; de fet amb fer-ho per una sola paràbola és suficient. Els punts d'intersecció de les paràboles (en groc) amb la recta que equidista de C1' i C2' (en color blau cel) són centres de les circumferències buscades (que es dibuixen en color fucsia, així com els seus centres).

Aquestes circumferències fucsia (que són solució del problema invertit) s'inverteixen respecte de la circumferència vermella i tot obtenint solucions del problema original.

VISIÓ RETROSPECTIVA

El problema sembla totalment acabat, però no és així. Es veu clarament una altra solució. Fem el punt simètric de P respecte de la recta que passa pels centres de les circumferències donades. La circumferència que passa per aquest punt, per P i pel punt de tangència de les dues circumferències donades, també és una circumferència solució; aquesta la podíem haver vist a ull abans de començar. Però, perquè no hem vist aquesta solució en el problema invertit? Quina solució és en el problema invertit?

En el problema invertit aquesta solució és la recta que passa per P' i que és paral·lela a les rectes C1' i C2'; és una circumferència degenerada. Això ens apropa una mica més a entendre perquè per cabri C1' i C2' són circumferències mentre que de fet són rectes!!!

(mostro una imatge i no mostro la miniaplicació de cabri perquè, encara no se per quin motiu, quan es resol un problema per inversió amb cabri, no es mostra bé la miniaplicació). Podeu descarregar la figura apol8-2.FIG i experimentar.

Com que trobar les circumferències tangents a dues circumferències donades i que passen per un punt és molt difícil, al més pur estil de Pólya, comencem eliminat una condició i treballant el problema resultant. Així, comencem preocupant-nos per veure quines deuen ser les circumferències tangents a la circumferència C donada i que passen pel punt P donat (li dic cas CP). Intuitivament ja he vist que devien haver-hi moltes solucions. Per això m'he preguntat on deurien estar els seus centres.

El que he fet és començar per dibuixar-ne una de concreta. Per fer-ho dibuixem la recta que passa pel centre O de la circumferència donada i també pel punt P donat. Aquesta recta talla la circumferència en dos punts, un d'ells és Q (considero el que està més a prop de P). La circumferència que té centre en el punt mig del segment PQ i que passa per P és tangent a la circumferència C donada; ara observem. Es veu amb total claredat que el centre d'aquesta circumferència solució (i de qualssevol circumferència solució) és tal que la diferència de distàncies a O i P és el radi de la circumferència donada.

Per tant, el lloc geomètric que descriuen els centres de les circumferències solució és una hipérbole que és els focus en els punts P (punt donat) i O (centre de la circumferència donada) i que té per diferència el radi de la circumferència donada. He de reconèixer que m'ha costat experimentar molt i observar també molt arribar a conjecturar aquest resultat i que ara per mandra (i se que faig mal fet) no descric amb tot detall tots els raonaments que he realitzt i errors que he comès; que probablement siguin tan importants com la mateixa solució.

Es presenta en la següent miniaplicació de cabri el cas CP resolt (figura del cas CP). Podeu moure el centre de les circumferències solució per sobre de la hipèrbole ja descrita i veure com efectivament la circumferència que té aquest punt com a centre i que passa per P és tangent a la circumferència donada.

També podeu descarregar la macro corresponent al cas CP (macro comprimida en zip) que de fet és fa servir per resoldre el cas CCP que es fa posteriorment.

Ara sí que podem atacar el cas general

Donades les circumferències C i C' i el punt P ens preguntem quines són les circumferències que essent tangents a C i C', també passen per P.

Apliquem el cas CP a la circumferència C i el punt P. Obtenim una hipèrbole que és el lloc geomètric dels punts del pla tals que són centres de les circumferències que passant per P són tangents a la circumferència C.

Apliquem també el cas CP a la circumferència C' i el punt P. Obtenim una hipèrbole que és el lloc geomètric dels punts del pla tals que són centres de les circumferències que passant per P són tangents a la circumferència C'.

La intersecció d'ambdues hipèrboles són els punts que verifiquen ambdues condicions, és a dir, que passant per P són tangents a les circumferències C i C'.

En procés. La macro del cas general CCP no dóna resposta en aquest cas. Cal ser estudiat a part ja que depèn de la posició del punt i de les circumferències hi pot haver solució.