Una aproximació a les tangències a través de la resolució del problema d'Apoloni

9.- CAS CCR. Dibuixar amb regle i compàs la circumferència que és tangent a dues circumferències donades i també a una recta donada.

Aquest és molt senzillet si s'està familiaritzat amb la inversió. La idea és convertir el cas CCR en el cas CCC i aplicar la macro corresponent a aquest cas. Tot i així presenta 8 solucions en una situació general i per tant, cal entendre el que es fa i no voler veure-ho directament sobre el gràfic ja que pot confondre.

Resolució del cas general (figura en cabri - figura amb tots els detalls)

Donades les dues circumferències vermelles i la recta vermella. Considerem la circumferència blava que té centre en el punt mig del segment determinat pels centres de les circumferències donades i que passa per aquests. Invertim les dos circumferències i la recta donada respecte d'aquesta circumferència blava; s'han convertit en tres circumferències que es mostren en color verd. Ara es troben totes les circumferències tangents a totes tres circumferències verdes (aplicant la macro CCC.mac). Finalment només queda invertir cadascuna d'aquestes cicumferències fucsies respecte de la circumferència blava. Com que la inversió és involutiva aleshores s'obtindran les circumferències solució que estem buscant i que es mostren en color negre.

La figura següent mostra les circumferències solució.

En la figura següent es mostren tots els detalls de la construcció. En aquesta figura següent les dues circumferències inicials i la recta inicial es presenten en color vermell fosc. Tots aquests tres objectes s'inverteixen respecte de la circumferència blava. En fer aquesta inversió, els tres objectes inicials (que es donen en color vermell fosc) es converteixen en tres circumferències que es presenten en color verd. El problema invertit consisteix a trobar les circumferències tangents a totes tres circumferències verdes. Per fer-ho aplico la macro CCC, CCC.mac (macro CCC comprimida en zip), i s'obtenen les circumferències tangents a les tres circumferències verdes. Aquestes circumferències es presenten en color vermell fluix (cal distingir-les de les dues circumferències inicials i de la recta inicial que es presenten en color vermell fort). Fet això ja tenim les circumferències solució (vuit en una situació general) que són tangents a les tres verdes, és a dir, tenim resolt el problema invertit. Ara només queda invertir aquestes circumferències solució del problema invertit respecte de la circumferència blava. D'aquesta manera cada solució del problema invertit (circumferència en color vermell fluix) es converteix en una solució del problema inicial (circumferències en color negre, tot i que es veu un negre pàl·llid). En conclusió tenim que les circumferències negres són tangents a les dues circumferències (vermell fort) i la recta (vermell fort) donades.