PROVA PARCIAL D'ANÀLISI

19-2-98

1. La cotització en borsa de les accions de certa empresa va seguir durant el 1998, aproximadament, l'evolució següent:
   f(t)=342+39t-3t²
   on t és el temps en mesos (0£t£12).

   a) dibuixeu el gràfic de la funció f(t).

   b) En quin mes es va atènyer la cotització màxima? Calculeu el percentatge de benefici que hauria obtingut un individu que hagués comprat accions en el moment de mínima cotització i les hagués venudes en el de màxima. (3p)

2. Sabem que el domini de definició d'una certa funció f(x) és tot l'eix d'abscisses. Sigui x₀ un punt d'aquest eix. Si el pendent de totes les rectes tangents a la gràfica de f(x) en qualsevol punt d'abscissa menor que x₀ és positiu i que el pendent de totes les rectes tangents en qualsevol punt d'abscissa més gran que x₀ és negatiu, què podem afirmar de x₀? Raoneu la resposta i poseu un exemple en què passi això. (2p)

3. La recta de pendent -1/4 que passa pel punt (1, 3/4) és tangent a la corba y=1/x. Calculeu les coordenades del punt de tangència. (2p)

4. Estudieu els intervals de monotonia, els extrems locals i les assímptotes i feu un esquema del gràfic de la funció

   f(x)=

   (3p)