MATEMÀTIQUES I

OPCIÓ A

(Cada pregunta val 2 punts)

 

  1. Tenim vuit cadires al voltant d’una taula octogonal, una a cada costat de l’octògon, i vuit persones, A, B, C, D, E, F, G i H, s’hi asseuen a l’atzar. Si sabem que A s’ha assegut enfront de B, quina probabilitat hi ha que C s’hagi assegut enfront de D? Expliqueu bé el perquè de la vostra resposta (l’octògon és regular).

    2.  

  2. Discutiu el sistema d’equacions següent segons els valors del paràmetre l:

    3.  

     

  3. Considereu la recta següent:

    4.  

     

    Doneu l’equació cartesiana del pla que conté la recta anterior i que és perpendicular al pla x + y - z = 0.

     

  4. Calculeu el volum del cos de revolució que obtenim si fem girar l’el·lipse x2 + 2y2 = 1 al voltant de l’eix de les x. Expliqueu bé el perquè de la vostra resposta.

    5.  

  5. Trobeu el punt de la paràbola y = 2x 2 que està més a prop del punt (9,0).

 

 

MATEMÀTIQUES I

OPCIÓ B

(Cada pregunta val 2 punts)

 

  1. Trobeu una primitiva de la funció f(x)= x2e-2x (utilitzeu dues vegades la fórmula d' integració per parts).

    2.  

  2. Trobeu, justificant els càlculs o les fórmules emprades, la distància del punt (1, -1, 1) a la recta següent:

    3.  

     

  3. Determineu a perquè el pla 4x + ay + 3z = a contingui la recta següent:

    4.  

    Expliqueu detalladament el perquè de la vostra resposta.

     

  4. Un estudi estadístic sobre els partits de futbol de primera i segona divisió demostra que en 49% de partits guanya l’equip de casa i que el 22% de partits acaben en empat. Calculeu quina probabilitat tindrem que en una jornada de lliga triada a l’atzar hi hagi, en els 14 partits que constitueixen la travessa (sense comptar el ple al 15), 7 victòries de l’equip visitant. Expliqueu bé el perquè de la vostra resposta.

    5.  

  5. a)Expliqueu el concepte de mínim local d’una funció i la diferència que hi ha entre els conceptes de mínim local i de mínim absolut.

 

b)Sabem que el gràfic de la derivada f’(x) d’una funció f(x) és el que mostra el dibuix (s’anul·la per a x=1, x=2 i x=3). Digueu quins valors de x corresponen a mínims locals de f(x). Expliqueu bé el perquè de la vostra resposta.