MATEMÀTIQUES I

OPCIÓ A

(Cada pregunta val 2 punts)

 

  1. En una urna hi 5 boles numerades de l'1 al 5 i en una altra urna i ha 10 boles numerades de l'1 al 10. Traiem una bola de cada urna a l'atzar.

    2. Probabilitat que sumin 6 o menys de 6.

    Si ens diuen que la suma no passa de 6, quina és la probabilitat d'haver tret almenys una bola amb el 5?

    Explica què vol dir probabilitat condicionada i esdeveniments independents.

     

  2. Discutiu el sistema d’equacions següent segons els valors del paràmetre l :

    3.  

  3. Considereu les rectes r1 i r2 de l'espai donades per les equacions:

    4. R1:

    R2 : (x, y, z)=(1, 0, 0) + l (1, 1, 1)

    calculeu la distància entre elles.

     

  4. Calculeu el volum d'una esfera de radi a tot considerant que és un cos de revolució que s'obté fent girar entorn de l'eix x la semicircumferència x2+y2=a2, y³ 0. Considereu després el cos de revolució engendrat en fer girar entorn de l'eix de les x la regió del pla limitada per la hipèrbola x2-y2=a2 i la recta x=2a. Calculeu-ne el volum i comproveu que és el mateix que el de l'esfera de radi a.

    5.  

  5. Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de y=cos(2x+p ) en el punt de x=p /8. Expresseu els coeficients de manera exacte, amb arrels si cal.

 

 

MATEMÀTIQUES I

OPCIÓ B

(Cada pregunta val 2 punts)

  1. Expliqueu en què consisteix el mètode d'integració per parts. Calculeu l'àrea de la regió del pla continguda en el primer quadrant i limitada per la gràfica de la funció y=x lnx - x, l'eix x i la recta x=e2.

    2.  

  2. Trobeu, justificant els càlculs o les fórmules emprades, la distància del punt (1, -1, 1) a la recta següent:

    3.  

     

  3. Determineu a perquè el pla ax + y + 3z = a sigui paral·lel a la recta següent:

Expliqueu detalladament el perquè de la vostra resposta.

 
  1. En una classe he ha un 15% d'alumnes rossos, un 9% d'alumnes amb els ulls blaus i un 5% d'alumnes rossos amb els ulls blaus. Si s'escull un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui ros o tingui els ulls blaus? Expliqueu la fórmula que dóna la probabilitat de la reunió de A i B en funció de les probabilitats d'A, de B i de la intersecció d'A i B.
Escriviu la fórmula de la probabilitat de la reunió de tres conjunts A, B i C i justifiqueu-la.

 
  1. Quina és l'àrea total mínima que pot tenir un prisma recte que té per base un triangle equilàter sabent que el seu volum és de 2 metres cúbics.