MATEMÀTIQUES I

COU SETEMBRE 98

OPCIÓ A

 

  1. Els punts P(2,0,3) i Q(4,-2,5) són simètrics respecte a un pla. Calculeu l'equació d'aquest pla (que P i Q siguin simètrics respecte a un pla vol dir que la recta que determinen talla perpendicularment el pla en un punt R que és el punt mitjà de P i Q)

    (2 punts)

  2. Considereu la funció f(x)=x4+px, on p és un cert nombre real. Escriviu, en funció de p, l'equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) en el punt d'abscisa x=--1. Determineu després p, de tal manera que la recta tangent anterior passi pel punt (1,0)

    (2 punts)

  3. Considereu la recta r d'equacions

    (x,y,z)=(1,0,2)+t(1,1,2)

    a) D'entre tots els plans que contenen la recta r, escriviu l'equació cartesiana d'aquell que és paral·lel a la recta s d'equacions

    x=y-1=z+2

    b) Trobeu la projecció ortogonal de la recta s sobre el pla obtingut en l'apartat anterior (això és, la recta intersecció del pla p obtingut en l'apartat anterior, amb el pla que passa per s i és perpendicular a p)

    (1,5 punts cada apartat)

  4. Tirem una moneda perfecta sis vegades consecutives. Calculeu

    a) Probabilitat de treure més de 4 vegades cara i probabilitat de treure menys de 5 vegades cara.

    b) Quina és la suma de les dues probabilitats calculades? Justifica teòricament perquè han de sumar així.

    (3 punts: 2punts el primer i 1 punt el segon apartat)

MATEMÀTIQUES I

COU SETEMBRE 97

OPCIÓ B

 

  1. Comproveu que el punt p(1,1,-1) pertany a la recta r d'equacions

    i no és del pla p d'equacions x-2y+3z=1. Calculeu la distància d de p a p .

    Trobeu l'altre punt de r que està a igual distància d de p .

    ( 2 punts)

  2. a) Trobeu el pla que passa per l'origen i és perpendicular a la recta que passa pels punts A=(1,0,1) i B=(-1,2,-2).

    b) trobeu les equacions paramètriques de la recta intersecció d'aquest pla amb el pla d'equació x=y+3. Poseu de manifest un punt de la recta i el vector director.

    (2 punts: 1 per cada apartat)

  3. Tenim tres boles de billar: Una blanca, una vermella i una negra. Es posen en una capsa amb tres forats numerats: 1, 2 i 3, un forat per a cada bola. Unicialment la blanca està al forat 1, la vermella al forat 2 i la negra al forat 3.

    a) Calculeu la probabilitat que en retornar-les a l'atzar a la capsa després de fer-les servir una vegada quedin situades en la posició inicial.

    b) Es fan servir tres vegades i cada cop es retornen a la capsa a l'atzar. Calculeu la probabilitat que exactament dos cops quedin situades en la posició inicial (d'abans de començar a jugar)

    (3 punts: 1,5 cada apartat)

  4. a) Estudieu el domini de definició, les possibles asímptotes i els intervals de creixement i decreixement de la funció

    y=

    Dibuixeu, primer, la gràfica de la funció i, després, el recinte format pels punts, les coordenades (x,y) dels quals compleixen les desigualtats següents:

    X ³ 0, W y W

    Expliqueu raonadament per què el recinte que heu dibuixat és el que se us ha demanat.

    b) Trobeu l'àrea d'aquest recinte.

    (3 punts: 2 punts l'apartat a) i 1 punt l'apartat b))