Si la figura obtinguda es podia dibuixar d'un sol traç el recorregut seria possible. En cas contrari no. Euler va investigar i demostrar les condicions perquè una figura es pugui dibuixar o no i va veure que el cas dels ponts de Köningsberg no tenia solució perquè hi havia més de dos punts senars.

El raonament que va fer va ser, més o menys, el següent:

• a les figures que dibuixem hi ha uns punts en els que hi coincideixen diferents línies (una, dues, tres, quatre, etc.)

• per dibuixar una figura d'un sol traç a cada punt d'encreuament haurem de poder arribar i també haurem de poder marxar. Això ho haurem de fer les vegades que siguin necessàries: si hi ha 2 línies una vegada (arribar-marxar), si n'hi ha 4 línies dues vegades (arribar-marxar i arribar-marxar), si n'hi ha 6 línies, tres vegades. És important, doncs, que a cada punt hi arribi un nombre parell de línies.

• en conseqüència, si una figura té tots els punts parells es podrà dibuixar sempre d'un sol traç. Podrem començar a qualsevol punt i acabarem, per força, al mateix punt en el que hem iniciat el dibuix. Ho podem veure en aquesta animació.

• si una figura té  2 punts senars també es podrà fer. Una de les línies que "sobra" servirà per iniciar el dibuix (no caldrà "tornar") i l'altre per acabar-lo (no caldrà "sortir"). Obligatòriament el punt per iniciar la figura ha de ser un dels senars i l'altre serà el punt final. Podem veure un exemple en aquesta animació.

• si una figura té més de 2 punts senars serà impossible dibuixar-la d'un sol traç. En algun moment "arribarem" a un punt i no podrem sortir.

• la figura corresponent als ponts de Köningsberg pertany a aquest darrer model: té mes de dos punts senars i no es pot dibuixar d'un sol traç: la passejada en les condicions demanades és impossible.