Història antiga

3. Història antiga

(La informació inclosa prové bàsicament de diverses pàgines dels webs Wolfram MathWorld, The MacTutor History of Mathematics archieve i Historia de las matemáticas, així com de Els Elements d'Euclides. Vegeu la bibliografia.)

3.1. Civilitzacions anteriors a Grècia

És a l'Antic Egipte on es troben els primers indicis de desenvolupament matemàtic. Tot i que no es conserven documents de l'època del Regne Antic (tercer mil·lenni aC), l'arquitectura de les monumentals piràmides demostra que posseïen un remarcable coneixement pràctic de geometria, i en particular en l'estudi dels triangles.

La informació escrita disponible sobre el coneixement del triangle a la civilització desenvolupada al voltant del riu Nil, ens ha arribat bàsicament a través de dos documents: el papir de Moscou i el papir de Rhind. Aquests papirs contenen la resolució pràctica d'una sèrie de problemes reals, com la divisió de terrenys o la determinació del valor d'impostos, amb dades concretes. Els problemes 4, 7 i 17 del papir de Moscou, escrit cap al 1890 aC, són els primers de la història que relacionen l'àrea amb la base i l'altura d'un triangle. En el problema 51 del papir de Rhind, que s'estima que fou elaborat originalment cap al 1800 aC, hi apareix també el càlcul directe de la superfície d'un triangle, utilitzant una fórmula anàloga a l'actual:

"Exemple de càlcul d'un triangle de terra. Si algú us diu: -un triangle de 10 khet [unitat de longitud] en l'altura i de 4 khet en la base. Quina és la seva superfície?-. Calculeu la meitat de 4, que són 2, per fer-ne un rectangle. Llavors feu la multiplicació de 10 per 2. Aquesta n'és la seva superfície."

Gràcies a aquests papirs se sap que els egipcis coneixien relacions de semblança i proporcionalitat entre triangles. En particular, utilitzaren el triangle que es forma amb costats de 3, 4 i 5 unitats de longitud, sabent que era rectangle. Ara bé, no s'ha demostrat que coneguessin el teorema de Pitàgores, que determina la relació entre els costats perquè un triangle sigui rectangle.

Els babilonis (Mesopotàmia) escrivien en tauletes d'argila en comptes de papirs, i això ha afavorit la conservació d'aquests documents i ha fet que en l'actualitat se'n coneguin milers. La tauleta d'argila amb informació matemàtica més antiga que es coneix, creada cap al 1800 aC, s'anomena Plimpton 322. És important perquè conté una llista de tripletes pitagòriques, és a dir, conjunts de tres nombres enters que, si són els valors dels costats d'un triangle, fan que aquest sigui rectangle. S'han trobat altres tauletes d'argila amb contingut matemàtic que mostren que la civilització babilònica coneixia tècniques de càlcul de l'àrea del triangle, l'ús del teorema de Pitàgores, i les relacions de semblança i proporcionalitat entre triangles.

En darrer lloc, cal mencionar el desenvolupament independent de la geometria a l'Extrem Orient. Probablement, des de la civilització de la Vall de l'Indus, al segon mil·lenni aC, ja s'utilitzaven coneixements de mesures del triangle en el comerç. Les diferents civilitzacions de la Índia desenvoluparen tècniques geomètriques per a la construcció d'edificis religiosos, però sense cap tipus de formalisme teòric. La civilització xinesa va estar pràcticament aïllada del món occidental fins el segle XVI dC. Tot i així, per separat, alguns savis obtingueren coneixements que ja presents a Europa, com el teorema de Pitàgores o la seva demostració per a alguns casos concrets.

3.2. Antiga Grècia

Tal com s'ha vist, les matemàtiques apareixen com a eina pràctica a les civilitzacions mesopotàmica i egípcia. Segles després els grecs les utilitzen amb dues finalitats: com a eina pràctica i com a ciència per al desenvolupament de la intel·ligència. Les matemàtiques en l’antiguitat eren l’artimètica, ciència dels nombres i la geometria, ciència de la forma i de les relacions espacials.

S’accepta unànimement que les matemàtiques es van desenvolupar a Grècia al llarg dels segles VII i VI aC, un cop els grecs van haver formalitzat un alfabet més o menys uniforme. Tot i que part del saber matemàtic dels grecs ja era conegut pels egipcis i babilonis molts segles abans, els grecs, assentats a tota la regió mediterrània, van conservar, enriquir i difondre aquest coneixement.

Una de les seves principals aportacions va ser utilitzar l’abstracció. Si anteriorment la recta era una corda tensa i el triangle, el contorn d’una parcel·la, els grecs ja van passar a parlar en termes abstractes. Un enunciat matemàtic havia de ser demostrat, ja no a partir de l’experimentació en múltiples casos, sinó mitjançant la deducció lògica a partir de certs fets fonamentals anomenats axiomes.

3.2.1. Tales de Milet, teorema de Tales

Tales de Milet (aprox. 630 aC - 550 aC) fou el primer filòsof i geòmetra grec conegut. Va recollir part del coneixement de l'antiguitat, però el va sistematitzar i va iniciar els estudis de caire teòric, esdevenint així el precursor del pensament científic. Tot i que no va deixar cap herència escrita, diversos relats posteriors ens parlen de Tales. A ell se li atribueix el coneixement que els angles de la base d'un triangle isòsceles són iguals, que dos triangles són isomètrics si tenen dos angles i un costat igual, i que una recta en talla dues de paral·leles amb el mateix angle, entre d'altres. Tanmateix, se'l coneix sobretot pel teorema de Tales, que estableix que si dues rectes secants són tallades per un feix de rectes paral·leles, llavors els segments formats en una i altra recta són proporcionals. Aquesta propietat és utilitzada en moltes demostracions.

3.2.2. Pitàgores de Samos, teorema de Pitàgores

Pitàgores de Samos (aprox. 570 aC - 490 aC) fou un matemàtic i filòsof grec. Fou el fundador de l'Escola Pitagòrica, una secta d'intel·lectuals que compartien unes creences determinades, fonamentades per la idea que la realitat està caracteritzada per les matemàtiques. Ells mantenien amagats els seus descobriments i se'ls transmetien oralment. Això ha fet que no hi hagi testimoni escrit dels seus coneixements. Tot i així, les biografies atribueixen a l'Escola Pitagòrica la paternitat de l'estudi pur dels nombres. En relació al triangle, descobriren que la longitud de la hipotenusa d'un triangle rectangle isòsceles té un valor irracional i, per tant, és incommensurable amb els costats.

Però per damunt de tot, Pitàgores ha assolit una gran fama pel teorema que porta el seu nom: el teorema de Pitàgores. Aquest teorema estableix la relació entre els catets i la hipotenusa d'un triangle rectangle. Siguin a i b els catets, i c la hipotenusa, llavors:

S'ha atribuït a Pitàgores una demostració geomètrica d'aquesta proposició, però no se sap realment si el que va fer va ser només enunciar-la, havent heretat aquest coneixement dels babilonis. Podeu veure un recull de vuit demostracions geomètriques diferents fetes amb GeoGebra a l'Annex: Demostracions del teorema de Pitàgores.

3.2.3. Euclides d'Alexandria, Els Elements

Euclides d'Alexandria (aprox. 330 aC - 270 aC) fou un matemàtic grec.

Els Elements és l'obra principal d'Euclides. És un compendi de format enciclopèdic que, en un ordre lògic, exposa els principis de la geometria grega, i que ha servit com a fonament de tota la geometria euclidiana posterior. Inclou també estudis sobre aritmètica i teoria de nombres. L'obra es compon de tretze llibres, que contenen un total de 465 proposicions, 23 definicions, 5 postulats i 5 axiomes. Les proposicions s'exposen amb caràcter sistemàtic deductiu dels postulats i axiomes. Precisament el cinquè postulat, l'anomenat postulat de les paral·leles, dóna origen a la geometria anomenada euclidiana. El postulat afirma que si dues rectes (a, b) en tallen una altra (c) formant un parell d'angles que sumen en un dels dos costats de la recta (c) menys de dos angles rectes, llavors les rectes a i b es tallaran si s'allarguen suficientment per aquest costat. Canviant aquest postulat s'obtenen les geometries no euclidianes, estudiades per altres autors.

La majoria de les proposicions que apareixen en Els Elements no són trivials, sinó que han estat escollides per tenir un interès matemàtic especial. Quant al triangle, se'n descriuen gairebé exhaustivament les propietats en els següents llibres:

El Llibre I conté 26 construccions geomètriques que demostren propietats bàsiques del triangle, com la possibilitat de construcció d'un triangle equilàter a partir d'un segment donat, el fet que si en un triangle dos angles són iguals llavors els cotats oposats a aquests també ho són, o que, en qualsevol triangle, el costat més gran és aquell que està oposat a l'angle més gran. En aquestes proposicions no s'utilitza el cinquè postulat i, per tant, són igualment vàlides per a geometries no euclidianes. En la proposició 32, un cop ja s'ha introduït el cinquè postulat, es demostra la propietat que la suma dels angles d'un triangle és igual a la suma de dos angles rectes. També hi ha proposicions en les quals compara les àrees de diferents triangles. Finalment, en les proposicions 47 i 48 demostra el teorema de Pitàgores i el seu invers.
El Llibre II conté dues proposicions (per un triangle obtús i per un triangle agut) que són equivalents al que actualment coneixem com a teorema del sinus, del qual el teorema de Pitàgores n'és un cas concret.
El Llibre IV conté la construcció de les circumferències inscrita i circumscrita a un triangle, així com la manera d'inscriure un triangle d'angles donats en una circumferència.
El Llibre VI conté els teoremes fonamentals de semblança entre triangles.
Els Llibres XI, XII i XIII contenen proposicions que tracten sobre construccions de geometria en l'espai, com les piràmides, fetes de cares triangulars, i els sòlids platònics com el tetraedre.

Euclides també demostrà dos teoremes per a triangles rectangles avui molt coneguts, el teorema del catet i el teorema de l'altura. El teorema del catet estableix que el valor d'un catet és igual a la mitjana geomètrica de la projecció del catet sobre la hipotenusa i la hipotenusa mateixa: b² = a * p_b i c² = a * p_c , on p_b i p_c són les projeccions esmentades. El teorema de l'altura estableix que el valor de l'altura (la que no correspon a cap dels catets) és igual a la mitjana geomètrica dels dos segments en què l'altura divideix la hipotenusa: h² = p_b * p_c. Tots dos teoremes es demostren utilitzant el teorema de Tales.

3.2.4. Heró d'Alexandria, fórmula d'Heró

Un triangle queda únicament determinat per la longitud dels seus costats. La fórmula d'Heró proporciona l'àrea d'un triangle donats els seus costats a, b i c:

Aquesta fórmula s'atribueix a Heró d'Alexandria (aprox. 10 - 70 dC), que en publicà una demostració al llibre Mètrica. Com que aquest llibre recollia tot el coneixement matemàtic del món antic, algunes fonts afirmen que Arquimedes de Siracusa (287 - 212 aC) ja podia haver conegut aquesta fórmula. L'any 1247 el matemàtic xinès Qin Jiushao redescobriria per a aquesta part del món el mateix resultat.

La demostració original d'Heró d'Alexandria utilitzava propietats dels quadrilàters cíclics, però hi ha una versió de la demostració que la simplifica a l'ús de tan sols el teorema de Pitàgores i procediments algebraics.