8. Altres teoremes
Aquesta
secció vol ser un recull representatiu dels teoremes
més curiosos, impactants i relativament coneguts que amaga la
geometria del triangle. Hi apareixen en ordre cronològic.
8.1. Recta de Simson
Donat
un triangle ABC i un punt P que pertany a la circumferència
circumscrita, la
recta de Simson és la línia que conté les projeccions del punt P en els
costats o prolongacions del triangle de referència. El descobriment de
l'existència d'aquesta recta fou atribuït per Jean-Victor
Poncelet
al matemàtic anglès Robert Simson (1687 - 1768), i
per aquest motiu tradicionalment se li ha donat aquest nom. Però, de
fet, Simson no va deixar mai constància escrita d'aquest fet,
sinó
que fou l'escocès William Wallace (1768 - 1843) qui la va descriure en
un article del 1799.
Es
pot observar que la recta de Simson de qualsevol vèrtex del triangle és
l'altura que passa per aquest vèrtex. A més, la recta de
Simson d'un punt oposat a un vèrtex és el costat corresponent.
Algunes de les propietats de la recta de Simson, comprovades
en la posterior representació en GeoGebra, són:
- Talla pel punt mitjà el segment HP (MHP), on H és l'ortocentre. D'altra banda, MHP
es troba en la circumferència dels nou punts, ja que com s'explica en
el corresponent apartat, aquesta és el lloc geomètric equidistant de
l'ortocentre i de la circumferència circumscrita.
- Les rectes de
Simson de dos punts oposats P i Q són
perpendiculars i es tallen en la circumferència dels nou punts.
- L'angle entre les rectes de Simson de dos punts P
i P' és la meitat
de l'angle de l'arc de la circumferència circumscrita entre P
i P'.
L'evolvent de les rectes de Simson d'un triangle,
és a dir, la corba que és tangent a totes elles, és un deltoide (que no
s'ha de confondre amb el quadrilàter que té el mateix nom). També té
propietats interessants:
- L'àrea del deltoide és la
meitat de l'àrea de la circumferència circumscrita.
- El triangle de Morley està orientat en la mateixa
direcció que el deltoide i en sentit oposat.
- Cada costat del triangle és
tangent al deltoide en un punt la distància del qual fins al
punt mitjà
és igual a la corda de la circumferència dels nou punts tallada pel
costat.
La
traça de múltiples rectes de Simson d'un triangle deixa veure
el
deltoide evolvent corresponent. En la finestra interactiva inferior i
per a qualsevol triangle, podeu activar la traça de la recta i, en
moure el punt P, veureu com es pot distingir el deltoide (zona on
s'intersequen les diferents traces). Llavors, es pot comparar la seva
orientació amb la del triangle de Morley. Per veure-ho una altra vegada
premeu el botó de refrescar situat a l'extrem superior
dret de la finestra.
8.2. Teorema de Carnot
El
teorema de Carnot estableix que la suma dels radis de les
circumferències inscrita i circumscrita a un triangle és igual a la
suma dels tres segments que van del circumcentre al punt mitjà de cada
costat.
Tanmateix, s'ha de tenir en compte que els segments poden
prendre
valor negatiu si no se superposen en cap moment al triangle.
Lazare Carnot (1753 - 1823)
fou un enginyer i geòmetra francès. Durant cinc mesos fou ministre de
guerra de Napoleó, però dedicà la major part de la vida als estudis i
la investigació. En relació amb el triangle, el 1801 publicà l'obra De la correlation des figures de
géométrie, on unificà gran part dels teoremes dels Elements d'Euclides
en un de sol. La demostració del teorema de Carnot que hem vist la basà
en l'aplicació del teorema de Pitàgores.
8.3. Teorema de Napoleó
El teorema de Napoleó utilitza la construcció
següent: sigui ABC un triangle qualsevol. Sobre els
seus costats s'hi construeixen 6 nous triangles equilàters (3 cap
enfora i 3 cap endins). D'aquests 6 triangles equilàters se n'obtenen
els centroides respectius.
El teorema de Napoleó afirma que unint els 3 centroides externs s'obté
un triangle
que resulta equilàter (triangle fosc). Unint els 3 centroides interns s'obté un triangle
que resulta equilàter (triangle blanc).
I un resultat
més avançat sobre la
mateixa construcció és el següent:
la diferència entre l'àrea del triangle fosc i la
del triangle blanc resulta igual a l'àrea del triangle
inicial ABC.
El teorema de Napoleó deu el seu nom a l'emperador
francès Napoleó Bonaparte (1769 - 1821), a qui li ha estat atribuït
alguna vegada, però segurament el teorema ja es coneixia anteriorment.
De totes maneres, apareix documentat per primera vegada l'any 1825,
quatre anys després de la mort de Napoleó.
8.4. Teorema de Steiner, punt de Fermat
El
teorema de Steiner, demostrat pel matemàtic suís Jakob Steiner cap al
1830, estableix que donat un triangle ABC, si es construeix a
sobre els seus costats tres triangles equilàters amb els
nous vèrtexs A', B' i C', llavors els segments AA', BB' i CC' tenen la
mateixa longitud entre ells i concorren en un punt P. Aquest punt
s'anomena punt de
Steiner (S).
S'anomena punt de Fermat
(F) la solució del problema consistent a trobar el punt amb la menor
suma de
distàncies fins els tres
vèrtexs. El punt de Fermat coincideix amb el punt de Steiner quan
aquest es troba a l'interior del triangle. Ara bé, quan hi ha un angle
intern superior als 120º, el punt de Fermat se situa en el vèrtex on hi
ha aquest angle, i no en el punt de Steiner, que queda situat fora del
triangle. En la representació en GeoGebra podeu comprovar aquesta
propietat comparant la suma de distàncies fins els vèrtexs del punt de
Fermat i d'un punt Q qualsevol en el triangle.
Així mateix,
la realització de la construcció m'ha permès observar que la
suma de distàncies des del punt de Steiner (o el de Fermat) quan estan
a l'interior del triangle fins als tres vèrtexs també
és igual a AA',
BB' i
CC'.
8.5. Circumferència de Taylor
Donat un triangle ABC, les projeccions
dels peus de les altures en els altres costats (PP)
pertanyen a
una mateixa circumferència. Se l'ha anomenada circumferència de Taylor.
L'autoria
d'aquest teorema no està clara. És possible que sigui obra del
matemàtic franco-belga Eugène Catalan (1814-1894), que se
situa entre els
primers a documentar-lo. La mateixa construcció satisfà altres
propietats interessants:
- El peu de cada altura i les seves
projeccions (PP) són concíclics amb el vèrtex oposat.
- Les dues projeccions (PP) més properes a cada vèrtex són concícliques amb
els dos peus d'altura dels costats corresponents.
- Les dues projeccions (PP) més
properes a cada vèrtex són concícliques amb aquest vèrtex i el punt
d'intersecció de les dues rectes que estan projectant.
- Els tres cercles que passen per l'ortocentre i les
dues projeccions (PP) de cada costat es tallen, de dos en dos, en les
altures.
8.6. Triangle de Morley
El
teorema de Morley estableix que donat un triangle ABC, si es
trisequen cadascun dels angles, les interseccions entre les
rectes que trisequen els diferents angles formaran un
triangle
equilàter, el triangle
de Morley. Es tenen en compte només les interseccions
entre les dues
rectes més properes a cada costat.
La
trisecció de l'angle, amb el mètode de regle i compàs, va ser un dels
tres problemes clàssics de la geometria grega, i no té una
solució
general per a qualsevol angle. Això passa perquè aquesta construcció
precisa dibuixar l'arrel cúbica d'una longitud donada, i el
regle sense
marcar i el compàs són insuficients per a fer-ho. Tot i així, hi ha
altres mètodes més potents amb
els quals sí que es pot fer la construcció, com la utilització de l'origami
(l'art de doblegar paper) o l'ús de corbes particulars. Per
aquest
últim cas, podeu veure una construcció amb el GeoGebra feta per Arturo
Martínez en el seu treball de recerca aquí. En
la nostra representació del teorema hem utilitzat una funció del
programa que divideix el valor de l'angle i el representa directament.
Aquest
teorema fou descobert i demostrat per l'anglès Frank Morley, professor
de matemàtiques a la Universitat de Haverford, l'any 1899. En
la seva
demostració utilitzà una corba algebraica. Més tard, s'aconseguiren
demostracions amb funcions trigonomètriques. Però totes elles
necessiten l'ús de funcions corbes o mètodes que permeten la
construcció de l'arrel cúbica, que és una dificultat inherent al
problema.