GEOMETRIA AMB CABRI-GÉOMÈTRE---ENRERA

Perspectives sobre l'ensenyament de la geometria al segle XXI

Publicat com a Document de Debat de la Comissió Internacional sobre la Instrucció Matemàtica (ICMI) al número 14 de la Newsletter de la EMS
Traducció d’Antoni Gomà publicada per la Societat Catalana de Matemàtiques a SCM/Notícies, maig 1995, número 1

1. Per què un estudi sobre la geometria?

Podríem dir que la geometria, considerada com una eina per a entendre l'espai en què vivim, descriure'l i interactuar-hi és, potser, la part de les matemàtiques més intuïtiva, concreta i lligada amb la realitat. Per altra banda, la geometria, com a disciplina, es sustenta en un ampli procés de normalització que s'ha anat consolidant al llarg de més de 2000 anys tot incrementant els seus nivells de rigor, abstracció i generalitat.

Els darrers anys la recerca en geometria ha tingut un impuls molt gran; han sorgit noves idees provinents d'altres àmbits de les matemàtiques i també d'altres disciplines, entre elles la informàtica. Actualment, les immenses possibilitats gràfiques dels ordinadors tenen una influència decisiva en molts aspectes de la nostra vida; cal doncs, una educació visual adequada per a aprofitar aquestes possibilitats.

Degut als variats aspectes que presenta la geometria hi ha un acord molt ampli entre els matemàtics i els ensenyants de matemàtiques sobre el fet que l'ensenyament de la geometria ha de començar molt aviat i ha de continuar de forma apropiada al llarg de tot el currículum matemàtic. Tanmateix, de seguida que hom intenta entrar en detalls sorgeixen opinions del tot divergents sobre com s'ha d'aconseguir aquesta finalitat. Hi ha hagut en el passat desacords molt profunds (que persisteixen avui dia) sobre els objectius, els continguts i els mètodes escaients a l'ensenyament de la geometria als diversos nivells, des de l'ensenyament primari a la universitat.

Potser una de les raons principals per a aquesta situació és la multiplicitat d'aspectes que presenta la geometria, cosa que porta com a conseqüència el fet que no s'ha trobat fins ara - o potser no existeix com a tal? - un camí simple, clar, lineal i "jeràrquic" des de les beceroles de la geometria fins als temes més avançats. A diferència del que passa amb l'aritmètica i l'àlgebra, fins i tot els conceptes més bàsics de la geometria, com és ara les nocions d'angle i distància, han de ser replantejats des de diferents punts de vista en diferents etapes.

Un altre punt problemàtic es refereix a la importància de les demostracions en geometria: paper de la intuïció, de les demostracions inductives i deductives, consideració de l'edat dels estudiants en què es poden introduir les demostracions i dels diferents nivells de rigor i abstracció.

Per tot això l'ensenyament de la geometria no és, en absolut, una tasca fàcil. Tanmateix ens trobem que, enlloc d'intentar enfrontar-se als obstacles i superar-los, la pràctica escolar de molts països els ha ignorat descaradament tot i suprimint les parts més exigents, sovint sense res a canvi. Per exemple: gairebé arreu del món la geometria de l'espai de tres dimensions pràcticament ha desaparegut o ha quedat confinada a un paper marginal.

A partir d'aquesta anàlisi i considerant de manera especial l'immens forat que s'ha obert entre la importància creixent de la geometria per ella mateixa i en la societat, i també com a objectiu de recerca, i la davallada considerable del seu paper en els currícula escolars, la ICMI considera que hi ha una necessitat urgent d'un estudi internacional, que tindria com a objectius prioritaris els següents:

  • Discutir la finalitat de l'ensenyament de la geometria en les diferents etapes escolars, situant-la adequadament en cada entorn, d'acord amb les diferents tradicions culturals.
  • Identificar els reptes més importants per al futur així com les noves tendències que poden sorgir i analitzar el seu impacte potencial en l'ensenyament.
  • Experimentar i implementar nous mètodes didàctics.

2. Aspectes de la geometria

No hi ha cap dubte que la importància històrica de la geometria en el passat, en particular com el prototip d'una teoria axiomàtica, està reconeguda universalment i doncs, no caldrà que fem cap comentari al respecte. A més, durant el passat segle i més específicament a les darreres dècades, tal com va afirmar Jean Dieudonné a ICME 4 (Berkeley, 1980), la Geometria "ha depassat àmpliament els seus límits [...] ha revelat els seus poders ocults i la seva extraordinària versatilitat i adaptabilitat i així ha esdevingut una de les parts de les matemàtiques més universal i útil per a les aplicacions".

Actualment la geometria inclou aspectes tan variats que no podem esperar fer-ne una llista completa (i potser fer-ho no tindria cap utilitat). Seguidament s'esmenten alguns d'aquests aspectes, aquells que des del nostre punt de vista són especialment rellevants per les seves implicacions didàctiques.

  • La geometria com la ciència de l'espai. Des de les seves arrels com a instrument per a descriure i mesurar figures, la geometria ha anat desenvolupant conceptes i mètodes mitjançant els quals podem construir i estudiar models idealitzats del món físic i, així mateix, d'altres fenòmens reals. Des de diferents punts de vista treballem amb la geometria euclidiana, afí, descriptiva, projectiva i, encara més, amb la geometria topològica, les no euclidianes o la geometria combinatòria.
  • La geometria com a mètode que ofereix representacions visuals de conceptes i processos d'altres àrees de la matemàtica i d'altres ciències. Per exemple, gràfics, teoria de grafs, diagrames de diversos tipus, histogrames.
  • La geometria com a punt de trobada entre les matemàtiques com a teoria i les matemàtiques com a font de models per a descriure la realitat.
  • La geometria com una manera de pensar i de comprendre i, a un nivell més alt, com una teoria formal.
  • La geometria com un exemple paradigmàtic per ensenyar el raonament deductiu.
  • La geometria com una eina per a aplicacions pràctiques, alhora tradicional i innovadora. En aquest aspecte hi trobem, per exemple, els gràfics d'ordinador, el processament i transformació d'imatges, la robòtica, etc.

Hom pot parlar de diverses presentacions de la geometria, d'acord amb el tipus de feina que s'ha marcat com a objectiu, que marquen distincions des del punt de vista didàctic. Grosso modo es podrien assenyalar

    -- el punt de vista manipulatiu
    -- el punt de vista intuïtiu
    -- el punt de vista deductiu
    -- el punt de vista analític

Finalment, es pot distingir entre la geometria que posa l'èmfasi en les propietats "estàtiques'' dels objectes geomètrics i una geometria en la qual es considera els objectes de manera "dinàmica'', perquè canvien mitjançant diversos tipus de transformacions de l'espai.

3. Hi ha una crisi en l'ensenyament de la geometria?

Durant la segona meitat d'aquest segle sembla que la geometria ha perdut progressivament el seu caràcter central en la formació matemàtica en molts països. El decreixement ha estat, alhora, qualitatiu i quantitatiu. Els símptomes d'aquesta davallada es poden trobar en les enquestes recents, fetes a nivell internacional, sobre el coneixement matemàtic dels estudiants.

Sovint s'ignora totalment la geometria o bé únicament s'inclouen uns pocs temes relacionats amb la geometria. Els temes que es tracten en aquest darrer cas tendeixen a restringir-se a alguns "fets'' elementals pel que fa a figures elementals i llurs propietats i els resultats acostumen a ser relativament pobres.

Quines són les causes principals d'aquesta situació?

  • Des de 1960 fins a 1980 s'ha esdevingut de forma general una "necessitat'' de presentar de pressa els temes tradicionals a causa de la introducció en els currícula de matemàtiques de noves matèries (per exemple la probabilitat, l'estadística, la informàtica, les matemàtiques discretes). Al mateix temps el nombre d'hores dedicades a les matemàtiques a l'escola ha anat davallant progressivament. El "moviment de les matemàtiques modernes'' ha contribuït - si més no indirectament - a la pèrdua de consideració del paper que ha de jugar la geometria euclidiana i ha afavorit d'altres parts de les matemàtiques i d'altres punts de vista per a ensenyar-les (la teoria de conjunts, la lògica, les estructures abstractes). Així, en particular, s'han deixat de treballar els aspectes visuals de la geometria, tant del pla com de l'espai, i totes aquelles qüestions que no s'inclouen a l'àlgebra lineal, com és ara l'estudi de les còniques i d'altres corbes notables.
  • Darrerament hi ha hagut un retorn cap als continguts més tradicionals en matemàtiques, amb un èmfasi especial en les activitats de plantejament i resolució de problemes. Tanmateix els intents de reincorporar la geometria euclidiana clàssica ---que abans representava la part fonamental dels continguts de la geometria escolar en bona part del món--- no han anat acompanyats de l'èxit desitjat. El cas és que, tradicionalment, els conceptes de la geometria euclidiana es presentaven als estudiants com un producte de l'activitat matemàtica del tot "acabat''. Fent-ho així, no encaixava en els currícula perquè s'esperava que els alumnes prenguessin part activa en el desenvolupament dels seus coneixements matemàtics.
  • En la majoria dels països el percentatge de la població que arriba a l'ensenyament secundari ha augmentat molt ràpidament durant les darreres dècades. Per això l'actitud tradicional d'ensenyar geometria abstracta a una minoria selecta presenta moltes dificultats i alhora resulta inapropiada per a la majoria d'estudiants de les noves generacions. Al mateix temps la necessitat d'incrementar molt la quantitat de professorat disponible ha causat una davallada, en terme mitjà, de la seva preparació universitària. Això és especialment cert pel que fa a les parts més exigents de les matemàtiques, entre les que hi podem esmentar la geometria. Com que les professores i professors joves han après matemàtiques amb currícula que oblidaven la geometria, troben a faltar una bona formació en aquest camp, cosa que els provoca la tendència "natural'' a negligir l'ensenyament de la geometria als seus alumnes. La situació és encara més dramàtica en països sense tradició escolar: en alguns casos la geometria està absent del tot de les escoles.
  • Tot sembla indicar que la divergència entre la concepció de la geometria com una àrea de recerca i els continguts escolars que es presenten s'incrementa dia rera dia; però en canvi no s'ha arribat pas al consens sobre la forma d'acostar posicions, encara que només fos en l'opinió de la possibilitat (o la conveniència) d'arribar-hi mitjançant la introducció de temes avançats en les darreres etapes de l'educació secundària.

4. Com es reflecteix la geometria a l'educació

Fins ara hem considerat la geometria com una teoria matemàtica i hem analitzat alguns aspectes del seu ensenyament. Tanmateix, com que de manera inqüestionable l'aprenentatge és l'altre pol essencial de qualsevol projecte educatiu, convé que ara dediquem l'atenció que es mereixen les principals variables que poden afectar un procés coherent ensenyament/aprenentatge. S'han de prendre en consideració diversos aspectes o "dimensions'' (considerades en el més ampli sentit de la paraula):

  • La dimensió social, amb dos pols:
    • El pol cultural, és a dir la construcció d'un substrat comú (coneixement i llenguatge) per a totes les persones que formen part d'una mateixa civilització.
    • El pol educacional, és a dir el desenvolupament de criteris, interns a cada individu, que facin consistent i responsable el seu raonament.

  • La dimensió cognitiva, és a dir, el procés que, partint de la realitat, condueix gradualment a una percepció acurada de l'espai.
  • La dimensió epistemològica, és a dir la capacitat d'interrelacionar la realitat i la teoria mitjançant la consideració de models (fer previsions, avaluar els seus efectes, replantejar-les). D'aquesta manera l'axiomatització permet alliberar-se de la realitat; alhora aquest fet es pot veure com un pas cap a posteriors conceptualitzacions.
  • La dimensió didàctica, és a dir la relació entre l'ensenyament i l'aprenentatge. En el marc d'aquesta dimensió cal tenir en compte aspectes molt diversos. Com a exemple, en comentem tres:
    • La interdisciplinarietat, tant a dintre de les matemàtiques com entre les matemàtiques i d'altres ciències.
    • La consistència dels punts de vista del professor i de l'alumne, en el marc d'un determinat estudi. Per exemple per tal de ser conscients que les diferents escales de distància han d'incorporar concepcions diverses del treball dels alumnes, amb procediments adequats a cada cas, tot i que la situació sigui la mateixa des del punt de vista matemàtic: en un "espai de coses petites'', la percepció visual pot ajudar a fer conjectures i a identificar les propietats geomètriques; quan manipulem objectes de l'espai en què habitualment ens movem (per exemple, l'aula) és fàcil encara aconseguir informació local, però pot ser difícil assolir una visió global; en un "espai a gran escala'' (com és ara en la geografia o en l'astronomia) hom necessita representacions simbòliques per a analitzar les seves propietats.
    • La consideració de la influència d'instruments adequats en situacions ensenyament/aprenentatge (començant, és clar, pel regle i el compàs i d'altres materials "concrets'' però arribant, també, a calculadores gràfiques, ordinadors i programari específic).

No cal dir que totes aquestes dimensions s'interrelacionen l'una amb l'altra i que s'han d'inserir de manera escaient en cadascuna de les etapes escolars: infantil, primària, secundària obligatòria, secundària postobligatòria (on comença habitualment la diversificació entre la via acadèmica, la tècnica i la vocacional) i universitària, sense oblidar la formació del professorat.