Un cop acabat aquest primer mòdul és un bon moment per reflexionar sobre la geometria euclidiana i la trasposició que n’efectua Cabri-Géométre.

La geometria euclidiana requereix quatre eines de treball:

1. Un pla homogeni, on totes les posicions són equivalents (a diferència d'un pla coordenat) 
2. Un llapis o punter que permeti marcar punts en el pla 
3. Un regle per traçar rectes i segments. 
4. Un compàs per traçar circumferències i arcs.

1. El pla és la pantalla. 
2. El llapis és el punter associat al ratolí, que apareix a les eines dels grups Punts, Rectes i Corbes
3. El regle està incorporat a les eines Recta, Semirecta, Segment, Triangle i Polígon del grup Rectes. 
4. El compàs està incorporat a les eines Circumferència i Arc del grup Corbes.

 

• La possibilitat (amb limitacions de caràcter pràctic) de mesurar segments i angles. Aquesta característica ja està incorporada a la mentalitat de tot practicant actual de la geometria i la converteix en una geometria mètrica. 
• La possibilitat de desplaçar els objectes per les posicions del pla. Aquesta característica no és nova: ja havia estat considerada per Arquímedes. Per això la geometria del programa és una geometria dinàmica.

 

La geometria coneix tres modalitats de regle: el regle d'un sol costat no graduat, el regle de dos costats no graduat, i el regle graduat.

La geometria coneix tres modalitats de compàs: el col·lapsable o euclidià (que només permet traçar arcs i circumferències), el no col·lapsable (que a més a més permet transportar distàncies), i el compàs rígid (d'amplitud fixada).

Euclides, i amb ell el gruix dels geòmetres grecs i dels seus successors, s'han mantingut dins de l'anomenada "restricció platònica": només es pot emprar el regle d'un sol costat no graduat i el compàs col·lapsable. És el mateix Euclides qui mostra com alleugerir la restricció sobre el compàs, i que el col·lapsable i el no col·lapsable són equivalents.

Des del segle XVII, i amb predilecció durant el segle XIX, s’ha estudiat quines noves restriccions poden introduir-se en les eines de la geometria euclidiana.

Els resultats principals són:

• Les construccions euclidianes no poden fer-se exclusivament amb el regle: per exemple, només amb regle és impossible traçar una paral·lela a una recta.
• Les construccions euclidianes poden fer-se amb el regle sol, si a més a més tenim una circumferència i el seu centre. És a dir, el compàs és imprescindible, però pot emprar-se només una vegada. Aquest resultat es deu a Steiner i Poncelet (segle XIX). Fins i tot la circumferència única pot substituir-se per un arc (Severi).
• Les construccions euclidianes poden fer-se exclusivament amb el compàs, suposant una recta coneguda a partir de dos punts. El regle, per tant, és prescindible. Aquest resultat es deu a Mohr (segle XVII) i Mascheroni (segle XVIII).
• El compàs, si ha d'emprar-se tot sol, no pot ser un compàs rígid, però sí d’obertura fitada inferiorment o superiorment (Kostovski). És un problema obert si pot ser d’obertura fitada superiorment i inferiorment.
• També es poden obtenir els mateixos resultats que amb el regle i el compàs fent servir alguna d'aquestes eines o conjunts d'eines:
• El regle de dos costats paral·lels, sense cap compàs
• El regle i el compàs rígid
• L'escaire de fuster (un angle recte rígid, sense que formi cap triangle)
• L'escaire de fuster amb un angle que no sigui recte (agut o obtús)
• Una peça rígida en forma de quadrat
• D'altres eines equivalents entre elles, amb menys abast que el regle i el compàs però amb més que el regle sol, són:
• El regle i el transportador de distàncies (realitzable físicament com un compàs sense llapis); aquest transportador de distàncies pot ser rígid sense que es modifiquin les seves possibilitats
• El regle i el bisector d'angles (realitzable físicament com un rombe articulat)
• El regle i el "canó" (marcador de punts en qualsevol direcció i a distància fixada d'un punt)
• I també, i en sentit contrari, es coneix des dels grecs que determinats conjunts d'eines físicament factibles produeixen més construccions que el regle i el compàs. El principal d'ells és el regle graduat, però n'hi ha d'altres com l'ús de còniques, el trisector de Glotin, l'ús de cordes (la "geometria de la corda") i l'origami o plegat de paper.