Un angle obtús és igual a un angle recte

 Es pren un segment CG de la mateixa longitud que CB i que AD, i es traça la mediatriu del segment AG, que passa pel punt mitjà H del segment AG.

 Com que AB i AG no són paral·lels, les dues mediatrius tampoc ho són, i es tallen en un punt K. Tracem els segments KD, KA, KG i KC.

 Com que K és a la mediatriu d’AG, els segments KA i KG són iguals.

 Com que K és a la mediatriu de CD, els segments KD i KC són iguals.

 Els triangles KDA i KCG tenen els costats respectivament iguals: KA = KG, KD = KC, i AD = CG per construcció d’aquest darrer. Són, doncs, dos triangles iguals.

 Ara bé, dos triangles iguals tenen els angles iguals. Això vol dir que l’angle KDA i l’angle KCG són iguals. Si es resten respectivament d’ells els angles KDF i KCF, que són iguals, resulten també dos angles iguals: ADF i FCG. Però ADF és recte i FCG és obtús!.
 

Tots els triangles són isòsceles

 Si la mediatriu i la bisectriu anterior són paral·leles, la bisectriu és perpendicular a BC. Llavors AB = AC i el triangle és isòsceles.

 Si la mediatriu i la bisectriu es tallen, sigui F el seu punt d’intersecció. Tracem FB i FC, i les rectes FG i FH perpendiculars a AC i AB.

 Els triangles AFG i AFH són iguals, perquè el costat AF és comú, els angles FAH i FAG són iguals perquè estan formats per la bisectriu, i els angles AGF i AHF són rectes. Com que els triangles són iguals, AH = AG i FH = FG.

 Els triangles BDF i CDF són iguals, perquè BD = DC, el costat DF és comú, i els dos angles amb vèrtex D són rectes. Per tant FB = FC.

 Els triangles FHB i FGC són rectangles. Per tant FB2 = FH2+HB2, FC2 = FG2 + GC2. Com que FB = FC i FH = FG, resulta HB = GC i com que AH = AG, sumant les igualtats és AB = AC.
 

Les dues demostracions es deuen a Lewis Carroll i figuren aquí segons la transcripció de Martin Gardner a "Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas" (Editorial Labor)