Sumari

Un cop acabat aquest segon mòdul és l’ocasió de reflexionar sobre què són les construccions geomètriques i de quines parts es componen, i com es poden inventariar, enregistrar i comparar.

Una figura geomètrica és un conjunt d'objectes geomètrics, alguns dels quals són genèrics, uns altres són genèrics relatius, i la resta han estat derivats dels anteriors per mitjà d'operacions del regle i del compàs. També rep el nom de configuració.

Una construcció geomètrica és el procés d'obtenció d'un o més objectes derivats, que s’anomenen els objectes finals de la construcció, a partir de determinats objectes genèrics que s’anomenen els objectes inicials de la construcció. Els objectes inicials i finals d'una construcció, conjuntament amb els objectes auxiliars que siguin necessaris per obtenir-los, constitueixen una configuració.
 

Entre els objectes geomètrics s’estableixen diverses relacions. Moltes d’elles han estat enunciades en aquest mòdul. Un assaig parcial d’inventari es pot fer tenint en compte els objectes entre els quals s’estableixen:

• punt i recta:  incidents
• tres punts:  alineats, punt mitjà, simètrics, equidistants
• tres rectes:  concurrents, bisectriu, simètriques
• dues rectes:  paral·leles, perpendiculars
• dos angles:  iguals, complementaris, suplementaris, adjacents, oposats pel vèrtex
• dos polígons:  directament iguals, inversament iguals, directament semblants, inversament semblants, simètrics, homotètics
• dos segments:  adjacents, paral·lels, perpendiculars, iguals, altres relacions simples de longitud
• quatre segments: proporcionals
• quatre punts:  concíclics, harmònics
• punt i circumferència:  centre
• recta i circumferència: tangents
• polígon i circumferència: inscrit, circumscrit
• dues circumferències: concèntriques, tangents, iguals
• angle i circumferència: central, inscrit, semiinscrit

Els objectes que formen una figura estan lligats per dos tipus de relacions:

•  relacions constitutives, que són les que serveixen per construir la figura
•  relacions conclusives, que són les que es descobreixen entre els objectes ja construïts

Un teorema geomètric és l’afirmació de l’existència de relacions invariants.

La validesa d’un resultat de la geometria s’ha lligat, clàssicament, a la possibilitat de demostrar-lo a partir d’un conjunt d’axiomes i s’ha menysvalorat l’evidència visual dels resultats perquè es referia sempre a una reducció al cas particular d’una figura concreta. La possibilitat que ofereix Cabri-Géomètre de superar aquesta limitació mostrant la conservació d’un resultat per una deformació contínua de la figura en què s’observa pot modificar, a la llarga, el mètode consagrat de raonament geomètric. Ja comencen a detectar-se moviments en aquesta direcció.